Zadanie nr 2962121

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Jeżeli zapiszemy równanie okręgu w postaci

to widać, że mamy do czynienia z okręgiem o środku i promieniu .

Jeżeli oznaczymy przez i punkty styczności stycznych poprowadzonych z punktu do okręgu, to

Ponadto

Zatem

czyli . To oznacza, że .

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii analitycznej i wyliczymy równania stycznych.

Proste przechodzące przez punkt mają postać

(tak naprawdę brakuje w tym pęku pionowej prostej , ale łatwo sprawdzić, że nie jest ona szukaną styczną).

Prosta ta będzie styczna do danego okręgu jeżeli odległość środka tego okręgu od tej prostej będzie równa . Na mocy wzoru na odległość punktu od prostej mamy więc równanie

Teraz wystarczy zauważyć, że iloczyn współczynników kierunkowych otrzymanych prostych jest równy , więc proste te są prostopadłe.

Na koniec obrazek dla ciekawskich.