Zadanie nr 4315400

Okrąg o równaniu 2 2 o : x + 2x + y + 2y = 14 jest styczny do prostych k : 4y − 3x − 19 = 0 i l : 4y + 3x + 27 = 0 w punktach i odpowiednio. Wyznacz równania wszystkich okręgów, które są jednocześnie styczne do okręgu , prostych i , oraz nie przechodzą przez punkty i .

Rozwiązanie

Przekształćmy równanie danego okręgu tak, aby zobaczyć jaki ma promień i środek.

2 2 (x + 2x+ 1)+ (y + 2y+ 1)− 1− 1 = 14 (x+ 1)2 + (y+ 1)2 = 16.

Jest to więc okrąg o środku S = (− 1,− 1) i promieniu r = 4 . Wyznaczmy jeszcze punkt wspólny danych prostych

{ 4y − 3x − 19 = 0 4y + 3x + 27 = 0

Dodajemy równania stronami i mamy 8y = − 8 , czyli y = − 1 . Stąd

23 3x = 4y − 19 = − 23 ⇒ x = − -3-

i A = (− 23,− 1) 3 . Możemy teraz naszkicować opisaną sytuację.

Widać, że będą dwa okręgi, które są jednocześnie styczne do o,k i – jeden mniejszy, a drugi większy od danego okręgu (w tym miejscu korzystamy z założenia, że szukany okrąg nie przechodzi przez punkty i – bez tego założenia byłyby cztery okręgi spełniające warunki zadania). Widać też, że punkty i leżą na poziomej prostej y = − 1 , która jest dwusieczną kąta utworzonego przez proste i . Środki szukanych okręgów też leżą na tej prostej, więc mają współrzędne postaci S′ = (a,− 1) . Wartość współczynnika możemy obliczyć, porównując odległość punktu ′ S od okręgu i jednej z prostych, powiedzmy . Musimy zatem mieć

′ ′ ∘ -------------------------SS--− 4 = d (S ,k) 2 2 |−-4-−-3a-−-19|- |3a+--23| (a− (− 1)) + (−1 − (− 1)) − 4 = √ -2----2 = 5 / ⋅5 | 4 +| 3 5|a + 1| − 20 = 3 ||a+ 23|| . | 3|

Rozwiązujemy teraz otrzymane równanie – rozważamy trzy przypadki.

Jeżeli a < − 233 , to mamy równanie

− 5(a+ 1)− 20 = − (3a + 23) − 2 = 2a ⇒ a = − 1.

Liczba ta nie spełnia warunku: a < − 23 3 , więc równanie jest sprzeczne w tym przypadku.

Jeżeli 23 − 3 ≤ a < − 1 , to mamy równanie

− 5 (a+ 1)− 2 0 = 3a + 23 − 4 8 = 8a ⇒ a = − 6

Ta liczba spełnia warunek: − 23 ≤ a < −1 3 .

Jeżeli wreszcie a ≥ − 1 , to mamy równanie

5a + 5− 2 0 = 3a + 23 2a = 38 ⇒ a = 19.

Ta liczba również jest rozwiązaniem interesującego nas równania. Mam więc S ′ = (− 6,− 1) lub S′ = (19,− 1) . Promień okręgu możemy w każdym z tych przypadków obliczyć z warunku