Zadanie nr 6413632

Uzasadnij, że koło o środku S = (− 1 5,− 11) i promieniu r = 8 jest w całości zawarte w trójkącie o wierzchołkach A = (− 24 ,28), B = (− 24,− 20), C = (0,− 20) .

Rozwiązanie

Wprawdzie podane liczby są dość duże, ale możemy sobie naszkicować opisaną sytuację.

Z obrazka widać, że łatwo napisać równania dwóch boków trójkąta:

AB : x = − 24 BC : y = − 20.

Zauważmy jeszcze, że punkt leży na prawo od prostej i powyżej prostej .

Napiszmy teraz równanie boku . Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB,yB ) :

y − y y − yA = -B-----A(x − xA ). xB − xA

Stosujemy ten wzór dla i :

− 20− 28 y − 28 = ---------(x + 24 ) ⇒ y = − 2x − 20 ⇒ y+ 2x+ 20 = 0. 0 + 24

Zauważmy teraz (wstawiając współrzędne punktu do równania prostej ), że punkt leży poniżej prostej . To oznacza, że punkt leży wewnątrz trójkąta ABC .

Powinno być jasne, że wystarczy pokazać, iż podane koło nie przecina prostych zawierających boki trójkąta ABC . Aby to wykazać, wystarczy sprawdzić, że środek tego koła jest odległy od boków trójkąta o więcej niż promień r = 8 .