/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg

Zadanie nr 6955724

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dane są okręgi o równaniach 2 2 x + y + 2x + 10y + 22 = 0 i x 2 + y2 − 6x + 2ay + a2 − 27 = 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Rozwiązanie

Zapiszmy równania danych okręgów tak, aby było widać jakie są ich środki i promienie.

2 2 (x + 2x + 1) + (y + 10y + 25 )− 1 − 25 + 2 2 = 0 (x + 1)2 + (y+ 5)2 = 4 = 2 2.

Zatem pierwszy okrąg ma środek S1 = (− 1,− 5) i promień r1 = 2 .

(x2 − 6x+ 9)+ (y2 + 2ay + a2)− 9− 27 = 0 (x− 3)2 + (y+ a)2 = 36 = 62.

Zatem drugi okrąg ma środek S2 = (3,−a ) i promień r2 = 6 .

Jeżeli okręgi mają mieć jeden punkt wspólny, to muszą być styczne, czyli odległość ich środków musi być równa sumie lub różnicy ich promieni (w zależności od tego, czy styczność ma być zewnętrzna, czy wewnętrzna).

W pierwszym przypadku mamy równanie

S1S22 = (r1 + r2)2 2 2 2 (3 + 1 ) + (−a + 5) = (2 + 6) (a − 5 )2 = 64− 16 = 48 √ -- √ -- a− 5 = − 4 3 lub a− 5 = 4 3 √ -- √ -- a = 5− 4 3 lub a = 5 + 4 3 .

W drugim przypadku mamy

S1S 22 = (r2 − r1)2 2 2 2 (3 + 1) + (−a + 5) = (6− 2) (a − 5)2 = 0 ⇐ ⇒ a = 5.

Na koniec rysunek całej sytuacji.

PIC

 
Odpowiedź: √ -- √ -- a ∈ {5 − 4 3,5,5+ 4 3}

Wersja PDF