Zadanie nr 7911771

Znajdź równania prostych stycznych do dwóch okręgów: 2 2 (x− 3) + y = 9 i (x + 5)2 + y2 = 2 5 .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Z rysunku widać, że będą 3 styczne do danych okręgów: prosta x = 0 i jeszcze dwie styczne symetryczne względem osi . Zajmiemy się teraz wyznaczeniem tej stycznej od okręgów powyżej osi .

Trójkąty CBE i CAD są podobne i łatwo z tego podobieństwa wyliczyć położenie punktu :

EC DC ----= ---- EB DA EC--= 8-+-EC-- 3 5 5EC = 2 4+ 3EC ⇒ EC = 12.

Zatem C = (15,0) . Z trójkąta CBE możemy też łatwo wyliczyć tg α , co pozwoli nam wyznaczyć współczynnik kierunkowy szukanej stycznej.

∘ ---2------2 √ -------- √ ---- √ --- BC = EC − EB = 144-− 9 = 135 = 3 15 EB 3 √ 15 tg α = ----= -√----= ----. BC 3 15 15

Obliczony tangens to nie jest współczynnik kierunkowy górnej stycznej, bo współczynnik kierunkowy to tangens kąta jaki prosta tworzy z dodatnią półosią , który jest równy 1 80∘ − α . Obliczony tangens różni się tylko znakiem od interesującego nas współczynnika kierunkowego. Zatem górna styczna jest postaci √-- y = − 1155x + b . Współczynnik wyliczamy z tego, że prosta ta ma przechodzić przez punkt C = (15,0) .