Zadanie nr 8179040

Dany jest okrąg o równaniu 2 2 x + y − 8x + 12 = 0 .

Wyznacz równania stycznych do okręgu przechodzących przez początek układu współrzędnych.
Oblicz pole ﬁgury ograniczonej stycznymi i łukiem okręgu wyznaczonym przez punkty styczności.

Rozwiązanie

Zacznijmy od ustalenia o jaki okrąg chodzi (jaki ma środek i promień).

2 2 x − 8x + 16 + y − 16 + 12 = 0 (x − 4)2 + y2 = 4.

Jest więc okrąg o środku S = (4,0) i promieniu 2. Teraz możemy naszkicować opisaną sytuację.

Proste przechodzące przez początek układu współrzędnych są postaci (z wyjątkiem pionowej prostej , ale widać, że ta nie jest styczną). Sprawdźmy kiedy taka prosta i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny (wstawiamy ) do równania okręgu.
$x2 − 8x + (ax)2 + 12 = 0 2 2 (1+ a )x − 8x + 12 = 0.$

Współczynnik przy jest niezerowy, więc mamy równanie kwadratowe. Wystarczy zatem sprawdzić, kiedy .

$2 2 2 0 = Δ = 64 − 48(1 + a ) = 1 6(4− 3− 3a ) = 16(1 − 3a ) √ 3- 3a2 = 1 ⇒ a = ± ---. 3$

Wyznaczmy od razu punkty wspólne i tych stycznych i okręgu (przyda nam się to w następnym podpunkcie).

$2 2 (1( + a )x) − 8x + 12 = 0 1- 2 1 + 3 x − 8x + 12 = 0 4-x2 − 8x + 12 = 0 / ⋅ 3 3 4 x2 − 6x + 9 = 0 2 (x − 3) = 0 ⇐ ⇒ x = 3.$

Zatem i punkty wspólne mają współrzędne .
Odpowiedź:
Żądane pole ﬁgury obliczymy odejmując od pola czworokąta pole wycinka kołowego . Czworokąt składa się z dwóch identycznych trójkątów i . Podstawa takiego trójkąta ma długość równą pierwszej współrzędnej punktu , czyli . Jego wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość równą drugiej współrzędnej punktu , zatem pole jest równe
$√ -- √ -- PASBO = 2PSBO = 4⋅ 3 = 4 3.$

Do wyliczenia pola odcinka potrzebna nam jest znajomość miary kąta . Policzmy najpierw miarę kąta . Ponieważ trójkąt jest prostokątny (bo styczna jest prostopadła do promienia), mamy

$√ ------ √ -- OB 9 + 3 3 sin ∡OSB = ----= --------= ---. OS 4 2$

Zatem i . Interesujące nas pole wycinka koła stanowi więc trzecią część pola całego koła, czyli

$1-⋅π ⋅22 = 4π . 3 3$

Możemy wreszcie policzyć pole ﬁgury opisanej w poleceniu,

$4 √ -- 4 P = PASBO − -π = 4 3 − --π . 3 3$

Odpowiedź: