Zadanie nr 9797596

Zacznijmy od schematycznego rysunku.

Jak zwykle w przypadku zadania z geometrii analitycznej jest wiele sposobów rozwiązania. My pokażemy dwa z nich.

Spróbujemy znaleźć współrzędne środka okręgu, o którym mowa w treści zadania. W tym celu napiszemy równania prostych prostopadłych do podanych prostych w punktach styczności z okręgiem i znajdziemy ich punkt wspólny. Prosta prostopadła do jest postaci . Ponadto szukamy prostej przechodzącej przez punkt , czyli

Podobnie znajdujemy drugą prostą. Ma on postać oraz

Aby wyznaczyć , musimy znaleźć punkt wspólny tych dwóch prostych

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ), otrzymujemy

Zatem i .

Pozostało wyliczyć promień okręgu, czyli długość odcinka :

Podobnie jak poprzednio, znajdziemy współrzędne punktu . Jakie ten punkt ma własności? Po pierwsze jest równoodległy od podanych prostych. Jak to zapisać? – trzeba skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej .

Żeby nie mieć ułamków, równanie drugiej prostej zamieńmy na i mamy wtedy:

Jak teraz opuścić wartości bezwględne? Do tego potrzebna jest informacja o położeniu punktu względem danych prostych. Dla punktu na prostej wyrażenie, które znajduje się pod wartością bezwzględną jest 0. Jeżeli punkt jest na lewo od prostej, to ma -a mniejszego, czyli wyrażenie jest ujemne. Gdy jest na prawo, to jest większy, więc jest dodatnie. Nasz punkt jest na prawo od pierwszej prostej i na lewo od drugiej, zatem

Dobrze, ale mamy jedno równanie a dwie niewiadome (nic w tym dziwnego, na razie wyliczyliśmy tylko równanie dwusiecznej podanego kąta). Drugie równanie to fakt, że odległość punktu od danych prostych to ma być dokładnie jego odległosć od punktu . Od razu porównamy kwadraty odległości i wykorzystamy poprzednie wyliczenie odległości od pierwszej prostej

Zanim przkształcimy to dalej podstawmy wyliczone już

Tak więc i promień wyliczamy jak w poprzednim sposobie.