Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1004692

Dla jakich wartości parametru m równanie  2 2 x + y − 2mx + 2m − 1 = 0 opisuje okrąg?

  • Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu.
  • Dla jakich wartości parametru m okrąg ten jest styczny do prostej o równaniu x = 4 ?
Wersja PDF
Rozwiązanie

Przekształcamy podane równanie (zwijamy do pełnych kwadratów)

 2 2 x + y − 2mx + 2m − 1 = 0 (x 2 − 2mx + m 2) − m 2 + y 2 + 2m − 1 = 0 2 2 2 (x − m ) + y = m − 2m + 1 (x − m )2 + y2 = (m − 1)2.

Otrzymane równanie jest równaniem okręgu wtedy i tylko wtedy gdy prawa strona jest dodatnia (bo ma to być kwadrat promienia), czyli dla m ⁄= 1 .

  • Środek i promień okręgu to odpowiednio (m ,0) i |m − 1 | . Ta wartość bezwzględna przy promieniu jest bardzo ważna! – inczej mielibyśmy ujemny promień.  
    Odpowiedź: Środek: (m ,0) , promień: |m − 1|
  •  

    Sposób I

    Okrąg jest styczny do prostej dokładnie wtedy gdy jego środek jest od tej prostej odległy o długość promienia. Moglibyśmy korzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej, ale sytuacja jest na tyle banalna (prosta jest pionowa), że wystarczy zdrowy rozsądek. Odległość punktu (m ,0) od prostej x = 4 to dokładnie |m − 4 | . Jak już stwierdziliśmy, odległość ta ma być równa promieniowi, co daje równanie

    |m − 4| = |m − 1|.

    Wartości bezwzględne dwóch liczb są równe, gdy te liczby są równe, lub gdy są przeciwne. Mamy zatem dwa przypadki

    m − 4 = m − 1 ⇒ − 4 = − 1 5- − m + 4 = m − 1 ⇒ m = 2.

    Na zakończenie możemy naszkicować sobie całą sytuację.


    PIC

    Sposób II

    Możemy też skorzystać z faktu, że okrąg i prosta są styczne wtedy i tylko wtedy gdy mają jeden punkt wspólny. Zatem po wstawieniu do równania okręgu x = 4 musimy otrzymać równanie, które ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wstawiamy

    (4 − m )2 + y2 = (m − 1)2 y 2 = m 2 − 2m + 1 − 16 + 8m − m 2 2 y = 6m − 15.

    Jest tylko jedna możliwość, aby to równanie miało dokładnie jedno rozwiązanie: prawa strona musi być równa zero. Zatem m = 15 = 5 6 2 .  
    Odpowiedź:  5 m = 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!