Oczywiście najważniejszy jest szkic opisanej sytuacji – widać, że będą dwa takie okręgi.
Informacja o tym, że okrąg jest styczny do prostej w punkcie
oznacza, że jego środek
leży na prostej
prostopadłej do
i przechodzącej przez punkt
. Prosta ta jest postaci
. Współczynnik
wyznaczamy wstawiając współrzędne punktu
.
Aby nie mieć ułamków możemy tę prostą zapisać w postaci . Środek szukanego okręgu jest więc postaci
.
Pozostało wyznaczyć taką wartość , dla której odległości punktu
od prostych
i
są równe. Można to zrobić na kilka sposobów, my pokażemy dwa z nich.
Sposób I
Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej
:
W naszej sytuacji mamy równanie
Otrzymaliśmy więc dwa punkty i
. Dla każdego z tych punktów wyliczmy jego odległość od puntu
(czyli promień szukanego okręgu).
Daje to nam równania okręgów lub
.
Sposób II
Tym razem napiszemy równanie okręgu o środku i przechodzącego przez
. Następnie sprawdzimy kiedy (dla jakiego
) jest on styczny do prostej
. Policzmy promień tego okręgu
Musimy więc ustalić, kiedy okrąg
ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą . Podstawiamy do równania
Równanie to ma jedno rozwiązanie gdy , czyli
Dalej ,
lub
. Stąd otrzymujemy dwa równania okręgów
lub
.
Odpowiedź: lub