/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczny do prostej

Zadanie nr 1238943

Znajdź równanie okręgu stycznego do prostej k : x + y + 13 = 0 i do prostej m : 7x − y − 5 = 0 w punkcie A(1,2 ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oczywiście najważniejszy jest szkic opisanej sytuacji – widać, że będą dwa takie okręgi.

PIC

Informacja o tym, że okrąg jest styczny do prostej m w punkcie A oznacza, że jego środek O (x,y ) leży na prostej n prostopadłej do m i przechodzącej przez punkt A . Prosta ta jest postaci y = − 1x + b 7 . Współczynnik b wyznaczamy wstawiając współrzędne punktu A .

1 15 2 = − -+ b ⇒ b = --. 7 7

Aby nie mieć ułamków możemy tę prostą zapisać w postaci n : 7y = −x + 15 . Środek szukanego okręgu jest więc postaci O (− 7y+ 15,y) .

Pozostało wyznaczyć taką wartość y , dla której odległości punktu O od prostych m i k są równe. Można to zrobić na kilka sposobów, my pokażemy dwa z nich.

Sposób I

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y 0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy równanie

|− 7y + 15 + y + 13| |7 (−7y + 15)− y− 5| ---------√----------- = ----------√----------- 2 5 2 5|− 6y + 28| = |− 50y + 100| |− 6y+ 28| = |− 1 0y+ 20| − 6y + 28 = −1 0y+ 20 lub − 6y+ 28 = 10y − 20 y = − 2 lub y = 3.

Otrzymaliśmy więc dwa punkty O 1(29,− 2) i O 2(− 6,3) . Dla każdego z tych punktów wyliczmy jego odległość od puntu A (czyli promień szukanego okręgu).

∘ --------- √ ---- |O1A | = 28 2 + 42 = 800 ∘ ------- √ --- |O2A | = 72 + 12 = 50.

Daje to nam równania okręgów (x− 29)2 + (y+ 2)2 = 800 lub (x + 6)2 + (y − 3)2 = 5 0 .

Sposób II

Tym razem napiszemy równanie okręgu o środku O (−7t + 15 ,t) i przechodzącego przez A . Następnie sprawdzimy kiedy (dla jakiego t ) jest on styczny do prostej k . Policzmy promień tego okręgu

2 2 2 2 |OA | = (− 7t+ 1 4) + (t − 2) = 50t − 200t + 20 0.

Musimy więc ustalić, kiedy okrąg

(x + 7t − 15 )2 + (y − t)2 = 50t2 − 200t + 200

ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą k : x = −y − 13 . Podstawiamy do równania

(−y − 13 + 7t − 15)2 + (y − t)2 = 50t2 − 200t+ 200 2 2 2 (−y + 7t− 28) + (y− t) = 50t − 200t+ 200 y2 + 49t2 + 784 − 14ty + 56y − 392t+ y2 − 2ty+ t2 = 5 0t2 − 20 0t+ 2 00 2y2 + y(5 6− 1 6t)+ 5 84− 192t = 0 1 --y2 + y(7− 2t)+ 73− 24t = 0. 4

Równanie to ma jedno rozwiązanie gdy Δ = 0 , czyli

0 = 49− 28t+ 4t2 − 73 + 2 4t = 4t2 − 4t − 24 = 4(t2 − t − 6).

Dalej Δ = 1 + 24 = 25 , t = − 2 lub t = 3 . Stąd otrzymujemy dwa równania okręgów 2 2 (x− 29) + (y+ 2) = 800 lub 2 2 (x + 6) + (y − 3) = 50 .  
Odpowiedź: (x − 29)2 + (y + 2)2 = 8 00 lub (x + 6)2 + (y − 3)2 = 5 0

Wersja PDF