/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Okrąg/Styczny do prostej

Zadanie nr 1350971

Okrąg o środku w punkcie S = (−3 ,4) jest styczny do prostej o równaniu y = − 43x + 253 . Oblicz współrzędne punktu styczności.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że jeżeli A jest szukanym punktem styczności, to dana prosta

k : y = − 4x + 25- 3 3

i prosta SA są prostopadłe. To pozwala dość łatwo napisać równanie prostej SA . Ma być ona prostopadła do k , czyli musi być postaci y = 3x + b 4 . Współczynnik b obliczamy podstawiając współrzędne punktu S .

3- 9- 25- 4 = 4 ⋅(− 3)+ b ⇒ b = 4 + 4 = 4 .

Pozostało teraz wyznaczyć punkt wspólny A prostych SA i k .

{ y = − 43 x+ 235 3 25 y = 4x+ 4 .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

0 = 3-x+ 4x + 25− 25- 4 3 4 3 100- 75- 9-+-1-6 12- 1 2 − 12 = 1 2 x / ⋅ 25 1 = x.

Zatem

4 25 21 y = − -+ ---= ---= 7 3 3 3

i A = (1,7)  
Odpowiedź: A = (1,7)

Wersja PDF