Zadanie nr 3888795
Okrąg o środku w punkcie jest styczny do prostej o równaniu
. Oblicz promień tego okręgu oraz współrzędne punktu styczności.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Zauważmy, że jeżeli jest szukanym punktem styczności, to dana prosta
![y = − 3-x− 13- 4 4](https://img.zadania.info/zad/3888795/HzadR2x.gif)
i prosta są prostopadłe. To pozwala dość łatwo napisać równanie prostej
. Ma być ona prostopadła do danej prostej, czyli musi być postaci
. Współczynnik
obliczamy podstawiając współrzędne punktu
.
![28 28 16 4 = ---+ b ⇒ b = 4 − ---= − ---. 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/3888795/HzadR8x.gif)
Prosta ma więc równanie
i współrzędne punktu
spełniają układ równań
![{ 3 13 y = − 4 x− 4 y = 43x− 136.](https://img.zadania.info/zad/3888795/HzadR12x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
![4 3 16 13 0 = -x + -x − ---+ --- 3 4 3 4 64−--39-= 16+--9x ⇒ x = 25-= 1. 12 12 25](https://img.zadania.info/zad/3888795/HzadR13x.gif)
Stąd i
. Promień okręgu jest równy
![∘ ------------------- √ -------- AS = (7− 1)2 + (4 + 4)2 = 36+ 64 = 10.](https://img.zadania.info/zad/3888795/HzadR16x.gif)
Odpowiedź: