Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8629618

Napisz równanie okręgu, który jest styczny do prostej y = x w punkcie A = (− 2,− 2) , oraz który odcina z prostej y = −x − 6 cięciwę o długości 8.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Dane proste są do siebie prostopadłe. Sprawdźmy jeszcze jaki jest ich punkt przecięcia.

{ y = x y = −x − 6.

Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego.

x = −x − 6 ⇒ x = − 3.

Stąd y = x = − 3 i punkt wspólny prostych to B = (− 3,− 3) . Teraz możemy wykonać szkicowy rysunek.


PIC


Ponieważ okrąg ma być styczny do prostej k : y = x w punkcie A = (− 2,− 2) , jego środek O musi leżeć na prostej prostopadłej do k i przechodzącej przez punkt A . Wyznaczmy równanie tej prostej. Ma ona postać y = −x + b liczbę b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A .

− 2 = 2+ b ⇒ b = − 4.

Zatem środek O okręgu leży na prostej y = −x − 4 .

Zrobiliśmy rzeczy, które były oczywiste, więc pora teraz na chwilę zastanowienia. Niech C będzie środkiem cięciwy wyciętej przez okrąg z danej prostej y = −x − 6 . Zauważmy, że trójkąt OCD jest prostokątny i możemy łatwo obliczyć długości jego przyprostokątnych: OC = AB , a CD to połowa długości cięciwy. Możemy więc łatwo obliczyć długość promienia okręgu OD . Liczymy

 2 2 2 AB = (− 3+ 2) + (− 3+ 2) = 2 OD 2 = OC 2 + CD 2 = AB 2 + CD 2 = 2 + 1 6 = 18.

Promień okręgu jest więc równy  √ --- √ -- R = 18 = 3 2 . Szukamy teraz punktu O na prostej y = −x − 4 , który jest odległy od A o R . Szukamy punktu O postaci O = (x,−x − 4) .

 2 OA = 18 (− 2− x)2 + (− 2+ x + 4)2 = 18 2 2 (x + 2) + (x+ 2) = 18 (x + 2)2 = 9 x + 2 = − 3 ∨ x + 2 = 3 x = − 5 ∨ x = 1.

Stąd y = −x − 4 = 1 i y = −x − 4 = − 5 odpowiednio. Są zatem dwa okręgi spełniające warunki zadania

 2 2 (x + 5) + (y − 1) = 18 (x − 1)2 + (y + 5)2 = 18.

 
Odpowiedź:  2 2 (x + 5) + (y − 1) = 18 i  2 2 (x − 1) + (y + 5) = 1 8

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!