Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9797596

Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu y = 2x − 3 w punkcie A = (2,1) i styczny do prostej o równaniu y = 12x+ 9 w punkcie B = (− 4,7) . Oblicz promień tego okręgu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od schematycznego rysunku.


PIC


Jak zwykle w przypadku zadania z geometrii analitycznej jest wiele sposobów rozwiązania. My pokażemy dwa z nich.

Sposób I

Spróbujemy znaleźć współrzędne środka O = (x,y ) okręgu, o którym mowa w treści zadania. W tym celu napiszemy równania prostych prostopadłych do podanych prostych w punktach styczności z okręgiem i znajdziemy ich punkt wspólny. Prosta prostopadła do y = 2x − 3 jest postaci y = − 1x + b 2 . Ponadto szukamy prostej przechodzącej przez punkt A = (2,1 ) , czyli

 1 1 = − --⋅2 + b ⇒ b = 2. 2

Podobnie znajdujemy drugą prostą. Ma on postać y = − 2x + b oraz

7 = (−2 )⋅(− 4) + b ⇒ b = − 1.

Aby wyznaczyć O , musimy znaleźć punkt wspólny tych dwóch prostych

( 1 |{ y = − 2x + 2 y = − 2x− 1. |(

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić y ), otrzymujemy

 3- 0 = 2 x+ 3 ⇒ x = − 2.

Zatem y = 3 i O = (− 2,3) .

Pozostało wyliczyć promień okręgu, czyli długość odcinka AO :

 ∘ --------------------- 2 2 √ ------- √ -- AO = (− 2 − 2) + (3 − 1) = 16 + 4 = 2 5.

Sposób II

Podobnie jak poprzednio, znajdziemy współrzędne punktu O = (x ,y) . Jakie ten punkt ma własności? Po pierwsze jest równoodległy od podanych prostych. Jak to zapisać? – trzeba skorzystać ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 .

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √A--2 +-B-2 .

Żeby nie mieć ułamków, równanie drugiej prostej zamieńmy na x − 2y + 18 = 0 i mamy wtedy:

 |2x − y − 3 | |x− 2y + 18| √ -- --√---------= ---√--------- / ⋅ 5 4+ 1 1+ 4 |2x − y − 3| = |x − 2y + 18|.

Jak teraz opuścić wartości bezwględne? Do tego potrzebna jest informacja o położeniu punktu O względem danych prostych. Dla punktu na prostej wyrażenie, które znajduje się pod wartością bezwzględną jest 0. Jeżeli punkt jest na lewo od prostej, to ma x -a mniejszego, czyli wyrażenie jest ujemne. Gdy jest na prawo, to x jest większy, więc jest dodatnie. Nasz punkt O jest na prawo od pierwszej prostej i na lewo od drugiej, zatem

2x− y− 3 = − (x − 2y + 18) 3x = 3y − 15 x = y − 5.

Dobrze, ale mamy jedno równanie a dwie niewiadome (nic w tym dziwnego, na razie wyliczyliśmy tylko równanie dwusiecznej podanego kąta). Drugie równanie to fakt, że odległość punktu O od danych prostych to ma być dokładnie jego odległosć od punktu A . Od razu porównamy kwadraty odległości i wykorzystamy poprzednie wyliczenie odległości O od pierwszej prostej

(2x − y − 3 )2 --------------= (x − 2)2 + (y− 1)2 5

Zanim przkształcimy to dalej podstawmy wyliczone już x = y− 5

(2(y − 5) − y − 3)2 --------------------= ((y− 5)− 2)2 + (y − 1 )2 5 (y − 13)2 = 5 ((y − 7 )2 + (y − 1)2) 2 2 2 y − 26y + 16 9 = 5(y − 14y + 49 + y − 2y + 1) y2 − 26y + 16 9 = 5y2 − 70y + 245 + 5y 2 − 10y+ 5 9y2 − 54y + 8 1 = 0 2 y − 6y + 9 = 0 (y − 3)2 = 0 y = 3 .

Tak więc x = − 2 i promień wyliczamy jak w poprzednim sposobie.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!