Zadanie nr 9797596
Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu w punkcie
i styczny do prostej o równaniu
w punkcie
. Oblicz promień tego okręgu.
Rozwiązanie
Zacznijmy od schematycznego rysunku.
Jak zwykle w przypadku zadania z geometrii analitycznej jest wiele sposobów rozwiązania. My pokażemy dwa z nich.
Sposób I
Spróbujemy znaleźć współrzędne środka okręgu, o którym mowa w treści zadania. W tym celu napiszemy równania prostych prostopadłych do podanych prostych w punktach styczności z okręgiem i znajdziemy ich punkt wspólny. Prosta prostopadła do
jest postaci
. Ponadto szukamy prostej przechodzącej przez punkt
, czyli

Podobnie znajdujemy drugą prostą. Ma on postać oraz

Aby wyznaczyć , musimy znaleźć punkt wspólny tych dwóch prostych

Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ), otrzymujemy

Zatem i
.
Pozostało wyliczyć promień okręgu, czyli długość odcinka :

Sposób II
Podobnie jak poprzednio, znajdziemy współrzędne punktu . Jakie ten punkt ma własności? Po pierwsze jest równoodległy od podanych prostych. Jak to zapisać? – trzeba skorzystać ze wzoru na odległość punktu
od prostej
.

Żeby nie mieć ułamków, równanie drugiej prostej zamieńmy na i mamy wtedy:

Jak teraz opuścić wartości bezwględne? Do tego potrzebna jest informacja o położeniu punktu względem danych prostych. Dla punktu na prostej wyrażenie, które znajduje się pod wartością bezwzględną jest 0. Jeżeli punkt jest na lewo od prostej, to ma
-a mniejszego, czyli wyrażenie jest ujemne. Gdy jest na prawo, to
jest większy, więc jest dodatnie. Nasz punkt
jest na prawo od pierwszej prostej i na lewo od drugiej, zatem

Dobrze, ale mamy jedno równanie a dwie niewiadome (nic w tym dziwnego, na razie wyliczyliśmy tylko równanie dwusiecznej podanego kąta). Drugie równanie to fakt, że odległość punktu od danych prostych to ma być dokładnie jego odległosć od punktu
. Od razu porównamy kwadraty odległości i wykorzystamy poprzednie wyliczenie odległości
od pierwszej prostej

Zanim przkształcimy to dalej podstawmy wyliczone już

Tak więc i promień wyliczamy jak w poprzednim sposobie.