Zadanie nr 1685579

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest liczba 5, maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca to ⟨2 ,+∞ ) . Największa wartość funkcji w przedziale ⟨− 8,− 7⟩ jest równa (− 24) . Wyznacz wzór funkcji i narysuj jej wykres.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Od początku myślmy sobie o wykresie funkcji . Ponieważ ma ona być malejąca dokładnie na przedziale ⟨2,+ ∞ ) , wykres musi być parabolą o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie x = 2 . Wiemy ponadto, że punkcie x = 5 jest miejsce zerowe, co pozwala nam dość dokładnie naszkicować prawą połówkę paraboli (chociaż wciąż nie wiemy jaka dokładnie jest wartość funkcji w x = 2 ).

Ponieważ parabola jest symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek, łatwo odgadnąć jakie jest jej drugie miejsce zerowe: jest to punkt położony symetrycznie do x = 5 względem punktu x = 2 , czyli x = − 1 .

Z powyższej analizy wiemy, szukana funkcja ma wzór postaci

f(x ) = a(x + 1)(x − 5).

Pozostało wyliczyć . Z naszkicowanego obrazka widać, że największa wartość w przedziale ⟨− 8,− 7⟩ to f(− 7) (bo funkcja jest w tym przedziale rosnąca). Mamy więc