/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa

Zadanie nr 2171816

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem 2 f (x) = ax + bx + c . Zbiorem rozwiązań nierówności f (x) < 0 jest przedział (− 6,0) . Najmniejsza wartość funkcji f jest równa − 3 . Oblicz współczynniki a,b i c funkcji f .

Rozwiązanie

Z podanych informacji wiemy, że wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych w górę, miejscach zerowych x = −6 i x = 0 , oraz wierzchołku w punkcie (− 3,− 3) (bo wierzchołek musi być dokładnie w środku między pierwiastkami).

Sposób I

Skoro znamy współrzędne wierzchołka, to wiemy, że funkcja f ma wzór postaci

f (x) = a(x + 3)2 − 3.

Wiemy ponadto, że f(0) = 0 , więc

0 = f(0) = 9a− 3 ⇒ a = 1-. 3

Stąd

f(x) = 1(x + 3)2 − 3 = 1x2 + 2x + 3 − 3 = 1x2 + 2x. 3 3 3

Sposób II

Korzystając z podanych miejsc zerowych, mamy

f(x ) = ax(x + 6).

Teraz podstawiamy w tym wzorze współrzędne wierzchołka.

3 1 − 3 = a ⋅(− 3)⋅3 ⇒ a = --= -. 9 3

Zatem

1 1 2 f(x) = 3x(x + 6) = 3x + 2x .

Na koniec wykres funkcji f dla ciekawskich.

PIC

 
Odpowiedź: ( ) (a,b,c) = 13,2,0

Wersja PDF