Funkcja kwadratowa - dowody

1Nasza definicja paraboli jest typowo szkolna i jej główną wadą jest to, że w ten sposób definiujemy tylko pionowe parabole. Zgodnie z naszą definicją, obrócona parabola przestaje być parabolą. Tak naprawdę parabolę powinno się definiować jako zbiór punktów, które są równo odległe od ustalonego punktu (ogniska paraboli) i ustalonej prostej (kierownicy paraboli).

W przypadku poziomej kierownicy otrzymujemy pionowe parabole.

2Zupełnie naturalne jest pytanie o wzory na pierwiastki, podobne do tych z Twierdzenia 2, dla wielomianów wyższych stopni. Okazuje się, że wzory takie można wyprowadzić dla wielomianów stopni 3 i 4 (choć są bardzo skomplikowane). Można natomiast udowodnić, że wzory takie nie istnieją dla wielomianów stopnia co najmniej 5.

3Uogólnieniem Wniosku 3 na dowolne wielomiany jest twierdzenie Bézouta, z którego wynika, że wielomian stopnia , który ma pierwiastków (licząc z krotnościami) rozkłada się na iloczyn czynników liniowych. Innym uogólnieniem jest znacznie trudniejszy w dowodzie fakt, że każdy wielomian można rozłożyć na iloczyn czynników liniowych i kwadratowych. Aby zobaczyć, że nie jest to oczywiste, polecam znaleźć taki rozkład dla .

4Jeżeli komuś się wydaje, że Twierdzenie 4 jest oczywiste, to niech sobie pomyśli o funkcjach i , albo o funkcjach i . Pomimo, że wzory tych funkcji wyglądają zupełnie inaczej, są to dokładnie te same funkcje. To co dowodzimy w Twierdzeniu 4, to że dla funkcji kwadratowych tego typu sytuacje (tożsamości) nie są możliwe.

Co więcej, jeżeli zmienimy dziedzinę wielomianów, to twierdzenie to może nie być prawdziwe. Np. w informatyce często rozważa się funkcje, których dziedziną jest zbiór . W takiej sytuacji funkcje i są identyczne.

5W przypadku funkcji kwadratowej, wzory Viète’a można uzasadnić bezpośrednio ze wzorów na pierwiastki, wtedy nie jest potrzebne Twierdzenie 4. Jednak taki dowód nie przenosi się w żaden sposób na wielomiany wyższych stopni. Nasze uzasadnienie w zasadzie bez zmian funkcjonuje w przypadku wielomianów dowolnego stopnia. "W zasadzie", bo zarówno Twierdzenie 4 jak i istnienie postaci iloczynowej (tzw. twierdzenie Bézouta) są w tej sytuacji odrobinę trudniejsze w dowodzie.

6Twierdzenie 6 należy rozumieć jako twierdzenie odwrotne do wzorów Viète’a – jego sens jest taki, że wzory Viète’a są równoważne samemu równaniu kwadratowemu. Własność ta jest bardzo wygodna w wielu zadaniach. Np. mając układ równań wiemy, że liczby i są pierwiastkami równania .

7Lemat 7 oraz Twierdzenie 8 stanowią uzasadnienie dobrze znanych własności paraboli. Żeby było jasne, takie uzasadnienie jest potrzebne i właśnie z niego wynika, że to co rysujemy myśląc o paraboli wygląda tak, jak się tego nauczyliśmy. Mówiąc jeszcze inaczej, właśnie dowody mówią o tym jak wygląda wykres funkcji, a nie np. robione na komputerze obrazki.

Weźmy na przykład funkcję .

Uważam, że bardzo dobrym ćwiczeniem jest próba ustalenia jak wygląda wykres tej funkcji, używając jakiegoś programu do rysowania wykresów. Jeżeli będziemy brali "małe" wartości na osi , to wykres będzie nieodróżnialny od paraboli – na lewym wykresie zmienia się w przedziale (oś jest przeskalowana do żeby wykres ładnie wyglądał). Dopiero gdy na osi zbliżymy się do przedziału (prawy wykres) zaczyna być widać, że to jednak nie jest parabola.

Może dla funkcji też tak jest? – nie, nie jest i to właśnie uzasadniamy w Lemacie 7/Twierdzeniu 8.

8Warunek wypukłości wygląda na bardzo skomplikowany, ale ma bardzo prostą interpretację geometryczną: oznacza on, że jeżeli weźmiemy dowolne dwa punkty i na wykresie funkcji , odcinek łączący te punkty jest w całości powyżej wykresu funkcji .

Zapis to standardowa parametryzacja odcinka o końcach i : dla mamy , dla mamy , dla mamy środek odcinka itd.

O wypukłości należy myśleć jak o kierunku, w którym wygina się wykres: jeżeli jedziemy zgodnie ze strzałką narysowaną na osi , to wykres funkcji wypukłej skręca w lewo. Wykres funkcji wklęsłej (np. ) skręca w prawo. To, jak szybko ten wykres skręca, mierzy druga pochodna funkcji.

9W twierdzeniu 9 zajęliśmy się tylko nierównością typu "", ale oczywiście łatwo z tego przypadku wywnioskować rozwiązania pozostałych możliwych nierówności: "".

10Twierdzenie 10 zasługuje na specjalny komentarz, bo jest notorycznie wykorzystywane w zadaniach szkolnych, chociaż nikt go jawnie nie wypowiada (i nie znajdziemy go w podręcznikach szkolnych). Każde zadanie typu wyznacz oś symetrii wykresu funkcji wymaga znajomości tego twierdzenia, tzn. musimy wiedzieć, że podawana w odpowiedzi prosta jest jedyną osią symetrii. Co więcej, jak popatrzymy na dowód tego twierdzenia, to nie jest on może bardzo trudny, ale nie jest też zupełnie prosty (i niektóre rzeczy, np. "ograniczoność łuku" pozostawiliśmy w nim na mało precyzyjnym poziomie). W takiej sytuacji rodzi się pytanie o sensowność tego typu zadań w podręcznikach szkolnych. Fakt, że takie zadania są w podręcznikach zupełnie powszechne, niestety jest często przejawem ignorancji ich autorów.

Inny problem jest z zadaniami typu: prosta jest osią symetrii wykresu funkcji , wyznacz . To zadanie można rozwiązać nie używając Twierdzenia 10: bierzemy jakiś punkt z wykresu, np. , potem sprawdzamy kiedy obraz tego punktu w symetrii względem (czyli punkt ) też jest na wykresie, daje nam to . Pytanie natomiast brzmi, czy rozwiązanie w stylu: osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta , więc mamy równanie itd., uznać za poprawne. W takim rozwiązaniu korzystamy już z Twierdzenia 11 i moim zdaniem, jeżeli mamy przesłanki, że autor rozwiązania nie jest tego świadomy (a tak jest w zasadzie zawsze), to takie rozwiązanie należy uznać za błędne.

11To, że każdą parabolę można przesunąć do paraboli jest w sumie dość niezwykłe, bo pokazuje, że kształt paraboli (z dokładnością do przesunięcia) zależy tylko od jednego parametru (pomimo, że sam wzór funkcji zależy od 3). Twierdzenie 11 jest jeszcze bardziej zaskakujące, bo pokazuje, że jeżeli dopuścimy zmianę skali, to parabola jest tylko jedna.

12Twierdzenie 12 nie jest specjalnie zaskakujące: we wzorze mamy trzy parametry, więc nic dziwnego, że potrzebujemy trzech warunków, żeby je jednoznacznie wyliczyć. Dowód tego twierdzenia byłby trochę prostszy, gdybyśmy skorzystali z metody wyznacznikowej rozwiązywania układu trzech równań z trzema niewiadomymi.

13Twierdzenie 12 w naturalny sposób uogólnia się na wielomiany dowolnego stopnia: dla dowolnych punktów , gdzie oraz dla , istnieje wielomian stopnia co najwyżej , którego wykres przechodzi przez te punkty. Gdybyśmy chcieli mieć w tezie dokładnie wielomian stopnia , to musimy dodatkowo założyć, że punkty te nie leżą na wykresie wielomianu stopnia .

Podobnie uogólnia się Wniosek 13: jeżeli wykresy dwóch wielomianów stopnia mają punktów wspólnych to się pokrywają.

14Wiemy, że 3 punkty jednoznacznie wyznaczają parabolę. Jaki jest jej wzór? Przy odrobinie sprytu można go wymyślić:

Żeby zobaczyć, że jest dobrze, wystarczy podstawić w tym wzorze kolejno i .

Jako ćwiczenie polecam napisanie analogicznego wzoru dla wielomianu stopnia 3 (trzeba wziąć 4 punkty).

15Wniosek 13 jest oczywiście dużym wzmocnieniem Twierdzenia 4, ale ponieważ dowód Twierdzenia 4 jest o wiele prostszy, postanowiliśmy potraktować te fakty niezależnie.

16Wniosek 14 jest ciekawy, bo pokazuje, że wierzchołek jest bardzo szczególnym punktem paraboli – jego ustalenie zostawia bardzo mało swobody na możliwe kształty paraboli. Oczywiście powodem jest symetria paraboli względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek: wybór wierzchołka ustala oś symetrii paraboli.