/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa

Zadanie nr 5638791

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których funkcja f (x) = (m 2 − 1)x2 − 2mx + 4m + 5 jest rosnąca w przedziale (− ∞ ;1) i malejąca w przedziale (1;+ ∞ ) .

Rozwiązanie

Oczywiście funkcja liniowa nie może spełniać podanego warunku, więc nie musimy sprawdzać co się dzieje, gdy m2 − 1 = 0 .

Ponieważ wykresem funkcji f jest parabola, więc podany warunek oznacza, że ramiona tej paraboli są skierowane w dół i wierzchołek jest w punkcie xw = 1 . Zatem

2 0 > m − 1 = (m − 1)(m + 1 ) ⇒ m ∈ (− 1,1 ).

oraz

b m 1 = xw = − ---= -2----- 2a m − 1 m2 − 1 = m 2 m − m − 1 = 0 Δ = 1 + 4 = 5 √ -- √ -- m = 1−----5, m = 1-+---5-. 1 2 2 2

Łatwo sprawdzić, że tylko pierwsza z tych liczb jest w przedziale (− 1 ,1) .  
Odpowiedź: √- 1−--5 2

Wersja PDF