/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa

Zadanie nr 8163916

Funkcja kwadratowa f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f(x ) = ax2 + bx + c . Najmniejsza wartość funkcji f jest równa − 1 oraz f(2) = f(0) = − 23 . Oblicz wartość współczynnika a .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że liczby x = 0 i x = 2 są miejscami zerowymi funkcji 2 g(x) = f (x)+ 3 . To oznacza, że funkcja g ma postać

g(x ) = ax(x − 2),

czyli

f(x) = g(x)− 2-= ax(x − 2) − 2-. 3 3

Wiemy ponadto, że funkcja ta przyjmuje wartość najmniejszą, więc a > 0 (ramiona paraboli muszą być skierowane w górę). W takiej sytuacji funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dokładnie w środku między pierwiastkami funkcji g , czyli dla

0 + 2 x = --2---= 1.

Mamy zatem

2 2 − 1 = f(1) = a ⋅1⋅ (−1 )− --= −a − -- 3 3 a = 1− 2-= 1. 3 3

Sposób II

Jeżeli parabola będąca wykresem funkcji f ma przyjmować wartość najmniejszą, to jej ramiona muszą być skierowane w górę. Znamy ponadto dwa punkty, w których funkcja ta przyjmuje tę samą wartość, więc możemy obliczyć pierwszą współrzędną jej wierzchołka

x = 0+--2-= 1 . w 2

Funkcja f ma więc postać kanoniczną

f (x) = a(x − 1)2 − 1.

Współczynnik a obliczamy podstawiając współrzędne punktu ( ) 0,− 2 3 .

− 2-= f (0) = a(x − 1)2 − 1 = a ⋅1 − 1 3 1 --= a 3

Sposób III

Podstawiamy we wzorze funkcji f współrzędne punktów ( ) 0,− 2 3 i ( ) 2,− 2 3 .

− 2-= f(0 ) = c 3 2 2 − --= f(2 ) = 4a+ 2b− -- ⇒ b = − 2a. 3 3

Funkcja f ma więc postać

2 2- f(x) = ax − 2ax − 3 .

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej jej wykresem jest więc równa

−b-- 2a- xw = 2a = 2a = 1.

Mamy więc

2 − 1 = f(1) = a− 2a − -- 3 a = 1 − 2-= 1. 3 3

Na koniec wykres funkcji y = f (x) .

PIC

 
Odpowiedź: a = 13

Wersja PDF