Zadanie nr 9492318

Funkcja kwadratowa 2 f(x ) = ax + bx + c , spełnia warunek f(8) = f (− 2) . Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej , spełniony jest warunek f (3− x ) = f(3 + x) .

Rozwiązanie

Sposób I

Rozszyfrujmy najpierw warunek f(8) = f (−2 ) .

6 4a+ 8b+ c = 4a − 2b + c 6 0a+ 10b = 0 ⇒ b = − 6a.

W takim razie f(x) = ax 2 − 6ax + c i

f(3− x) = a(3 − x )2 − 6a (3 − x )+ c = a(9− 6x + x2)− 18a + 6ax + c 2 = ax − 9a + c f(3+ x) = a(3 + x )2 − 6a (3 + x )+ c = a(9+ 6x + x2)− 18a − 6ax + c 2 = ax − 9a + c.

Zatem rzeczywiście f(3− x) = f (3+ x ) .

Sposób II

Warunek f(8) = f (− 2 ) oznacza, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji jest prosta x = 8−2-2= 3 .

Teraz wystarczy zauważyć, że punkty tego wykresu o pierwszych współrzędnych równych 3 − x i 3 + x odpowiednio też są położone symetrycznie względem prostej x = 3 , bo