/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Ceny i zakupy

Zadanie nr 8976948

Właściciel sklepu kupuje zegarki płacąc producentowi 180 zł za sztukę. Następnie sprzedaje miesięcznie 30 sztuk takich zegarków po 230 zł. Sprzedawca oszacował, że każda obniżka ceny zegarka o złotówkę zwiększy liczbę sprzedanych zegarków o trzy sztuki. Niech x oznacza liczbę obniżek o 1 zł, gdzie x ∈ {1,2,3,...,30} .

  • Wyznacz wzór funkcji miesięcznego zysku właściciela sklepu w zależności od x .
  • Jaką cenę zegarka powinien ustalić właściciel sklepu, aby jego miesięczny zysk był największy? Ile będzie równy ten największy miesięczny zysk?
Wersja PDF

Rozwiązanie

W chwili obecnej sklep zarabia na zegarkach

30⋅ 50 = 1500 .
  • Jeżeli cena zostanie obniżona o x złotych, to zysk ze sprzedaży będzie wynosił
    f(x ) = (30 + 3x)(50 − x ) = − 3(x+ 10)(x − 50).

     
    Odpowiedź: f(x ) = − 3(x+ 10)(x − 50)

  • Ponieważ wykresem funkcji f(x ) jest parabola o ramionach skierowanych w dół, wartość największą otrzymamy w wierzchołku paraboli, który jest dokładnie w środku pomiędzy pierwiastkami, czyli w punkcie
    −-10-+-50- xw = 2 = 20

    (oczywiście mogliśmy też wymnożyć nawiasy we wzorze na f(x) i skorzystać ze wzoru na współrzędne wierzchołka). Zysk dla x = 20 wynosi

    f(20 ) = − 3(20 + 10)(20 − 50 ) = − 3⋅30 ⋅(− 30) = 2700 zł.

     
    Odpowiedź: Cena: 210 zł, zysk: 2700 zł.

Wersja PDF