/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Różne

Zadanie nr 2381110

Pierwszy wyraz niemonotonicznego ciągu geometrycznego (an) jest równy 48 i jest o 36 większy od wyrazu trzeciego.

  • Oblicz iloraz ciągu (an ) .
  • Oblicz ósmy wyraz ciągu (a ) n .
  • Suma kilku początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 1- 3 216 . Oblicz, ile wyrazów zsumowano.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Jeżeli ciąg jest niemonotoniczny, to q < 0 . Wiemy, że
    48 = a1 = a3 + 36 = a1q2 + 36 = 48q2 + 36 2 48q = 12 2 12- 1- 1- q = 48 = 4 ⇒ q = − 2 .

     
    Odpowiedź: q = − 12

  • Liczymy
    ( 1 )7 48 3 a8 = a1q7 = 4 8⋅ − -- = − ---= − --. 2 27 8

     
    Odpowiedź: 3 a8 = − 8

  • Mamy równanie
    1 − qn 1 a1 ⋅-------= 3 2--- 1 − q 16 1 − (− 1)n 29 + 1 48 ⋅-----3-2---= ---4--- 2 2 ( ( 1 )n) 29 + 1 32 1 − − -- = ---4--- / : 32 = 25 ( ) 2 2 1 n 2 9 + 1 1 − − 2- = --2-9-- ( )n 1- 29 +-1- -1- − 2 = 1− 29 = − 2 9 n = 9.

     
    Odpowiedź: Dziewięć wyrazów.

Wersja PDF