/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Różne

Zadanie nr 3702618

Oblicz iloczyn pierwszych 99 wyrazów ciągu geometrycznego (an) , w którym a1 = − √-147- ( 2) oraz ∘ ---√---- ∘ ----√--- q = 3− 5 − 3+ 5 . Czy iloczyn ten jest liczbą wymierną?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Na razie nie przejmujmy się dziwacznymi wartościami a1 i q i policzmy iloczyn pierwszych 99 wyrazów ciągu (an) . Ze wzoru na n -ty wyraz ciągu geometrycznego mamy

a1a2a3 ⋅⋅⋅a99 = a1 ⋅(a1q)⋅ (a 1q2)⋅⋅⋅(a1q98) = 99 1+2+ ⋅⋅⋅+ 98 = a1 ⋅q .

Zanim przekształcimy to wyrażenie dalej obliczmy sumę wykładników przy ilorazie q .

1 + 2 + ⋅⋅⋅+ 98 = 1-+-9-8⋅ 98 = 99 ⋅49. 2

Zatem

99 99⋅49 a1a2⋅⋅ ⋅a99 = a1 ⋅q .

Teraz nie mamy wyjścia, musimy się przyjrzeć dokładniej liczbie q . Jest jasne, że q < 0 (bo ∘ -------- ∘ -------- 3 − √ 5-< 3 + √ 5- ), oraz

∘ ------------------- 2 √ -- √ -- √ -- √ -- √ ------ q = 3 − 5− 2 (3 − 5)(3 + 5) + 3+ 5 = 6 − 2 9 − 5 = 6 − 4 = 2 .

Zatem q = − √ 2- . Stąd

( ) 1 99 √ -- a 1a2a3⋅⋅⋅a99 = a 991 ⋅q99⋅49 = − -√----- ⋅(− 2)99⋅49 = ( 2)47 √ --−47⋅99 √ --99⋅49 √ --2⋅99 99 = ( 2) ⋅( 2) = ( 2) = 2 .

Oczywiście jest to liczba wymierna.  
Odpowiedź: Tak, jest to liczba wymierna: 299

Wersja PDF