Zadanie nr 4078121

Ciąg (an ) , dla n ≥ 1 jest ciągiem geometrycznym o ilorazie √ -- q = 2 . Oblicz wartość wyrażenia

2 -a7a2 +-a3 +-a4a5-. a1a3 + a3a4 + a2a5

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na -ty wyraz ciągu geometrycznego, mamy

√ -- a2 = a1q = a1 2 a3 = a1q2 = 2a1 √ -- a4 = a1q3 = 2 2a1 4 a5 = a1q = 4a1 a7 = a1q6 = 8a1.

Sposób I

Podane wyrażenie jest równe

√ -- √ -- -a7a2-+-a23 +-a4a5- -8a-1 ⋅a1-2-+-4a-21 +-2-2a-1 ⋅4a-1- a1a3 + a3a4 + a2a5 = a ⋅2a + 2a ⋅2√ 2a + a √ 2-⋅4a = 1√ -- 1 1√ -- 1√ -1 1 8--2+--4+--8--2- 16--2-+-4- = 2+ 4√ 2+ 4√ 2 = 2 + 8√ 2 = 2 .

Sposób II

Tym razem wstrzymamy się ze wstawianiem wartości do samego końca rachunku.

a7a2 + a23 + a4a5 a1q 6 ⋅a1q + a21q4 + a1q3 ⋅a1q4 ------------------ = ------2------2-----3-----------4-= a1a3 + a3a4 + a2a5 a1 ⋅a1q + a1q ⋅a1q + a1q⋅ a1q q7 +-q-4 +-q7 2q5-+-q2- q2(2q3 +-1)- 2 = q2 + q 5 + q5 = 1 + 2q 3 = 1+ 2q3 = q = 2.

Odpowiedź: 2