/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 3879129

W ciągu arytmetycznym {a1,a2,...,a29,a30} suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 555, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 615. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ

a2 = a1 + r, a4 = a3 + r,...,a30 = a29 + r,

mamy

{ 5 55 = a2 + a4 + ⋅⋅⋅+ a 30 = a1 + a3 + ⋅⋅⋅ + a29 + 15r 6 15 = a1 + a3 + ⋅⋅⋅+ a 29.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

15r = − 60 ⇒ r = − 4.

Zauważmy teraz, że suma wszystkich 30 wyrazów jest równa 6 15+ 555 = 11 70 , co daje nam równanie

2a1 + 29r 1170 = S30 = ----------⋅30 = (a1 + 2 9⋅(− 2)) ⋅30 / : 30 2 39 = a1 − 58 ⇒ a1 = 97.

Zatem

a30 = a 1 + 29r = 97+ 29⋅ (− 4) = − 19.

 
Odpowiedź: a30 = − 19

Wersja PDF