/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 4364681

Suma czterdziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , jest równa 40. Ponadto a40 = 4 0 . Oblicz różnicę tego ciągu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów na an i Sn .

{ 40 = a40 = a1 + 39r 40 = S40 = 2a1+239r-⋅40 = (2a1 + 39r) ⋅20 / : 20 { 40 = a1 + 39r 2 = 2a + 39r 1

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić 39r ) mamy

− 38 = a1.

Z pierwszego równania mamy

39r = 40− a1 = 40 + 38 = 7 8 ⇒ r = 2.

Sposób II

Na mocy wzoru a1+an- Sn = 2 ⋅n na sumę n początkowych wyrazów ciągu (an ) , mamy

a1 + a40 40 = --------⋅40 ⇒ a1 + a40 = 2 ⇒ a1 = 2− a40 = 2 − 40 = − 3 8. 2

Korzystamy teraz ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego.

40 = a40 = a1 + 39r ⇒ 3 9r = 40 − a1 = 78 ⇒ r = 2.

 
Odpowiedź: r = 2

Wersja PDF