/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 4953854

Dany jest ciąg (an) , w którym suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem Sn = n3 − 1 , n ≥ 1 . Wyznacz wzór ogólny ciągu. Czy jest to ciąg arytmetyczny?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Znając wzór na sumę wyrazów, możemy wyznaczyć wzór ciągu an z równości

an = Sn − Sn− 1

(sumy z prawej strony różnią się dokładnie o an ). Wzór ten nie działa dla a1 , ale a1 = S1 .

Liczymy a n .

an = Sn − Sn −1 = n 3 − 1 − (n − 1 )3 + 1 = = n3 − n3 + 3n 2 − 3n + 1 = 3n 2 − 3n + 1

dla n ≥ 2 , oraz a 1 = S1 = 0 .

Sprawdźmy jeszcze, czy jest to ciąg arytmetyczny

2 2 an +1 − an = 3(n + 1) − 3(n + 1 )+ 1 − 3n + 3n− 1 = = 3n2 + 6n + 3 − 3n − 3 − 3n 2 + 3n = 6n

Różnica kolejnych wyrazów nie jest stała, więc nie jest to ciąg arytmetyczny.  
Odpowiedź: an = 3n 2 − 3n + 1, dla n ≥ 2,a1 = 0 , nie jest arytmetyczny.

Wersja PDF