/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 5181816

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) wyraża się wzorem Sn = 2n2 + n dla n ≥ 1 .

  • Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych:
    a2 + a4 + a6 + ...+ a 100.
  • Oblicz
    Sn nli→m+ ∞ --2----- 3n − 2

Rozwiązanie

  • Ponieważ Sn = Sn− 1 + an , to
    an = Sn − Sn −1 = 2n 2 + n − (2 (n− 1)2 + (n− 1)) = 4n − 1

    Zauważmy teraz, że ciąg a2,a4,a6,... jest również ciągiem arytmetycznym, ale o różnicy dwa razy większej niż różnica ciągu (an) . Możemy zatem skorzystać ze wzoru na k = 50 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (korzystamy z najprostszej do zapamiętania postaci tego wzoru: (pierwszy+ostatni)/2 razy liczba wyrazów)

    S = a-2 +-a100 ⋅50 = 7+--399-⋅50 = 20 3⋅50 = 10150 2 2

     
    Odpowiedź: 10150

  • Korzystamy ze wzoru na Sn z treści zadania
    --Sn---- 2n2-+-n- 2-+--1n- 2- nl→im+ ∞ 3n2 − 2 = n→lim+ ∞ 3n2 − 2 = nl→im+∞ 3 − -2 = 3. n2

     
    Odpowiedź: 2 3

Wersja PDF