/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 6224286

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , w którym a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 3135 oraz a6 + a7 + a8 + a9 + a10 + a11 = 31 35 . Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (an) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

a + a 2a + (n − 1)r Sn = -1----n-⋅n = --1------------⋅n 2 2

na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Mamy zatem

{ 2a1+ 4r 313 5 = a1 + a2 + a3 + a 4 + a5 =--2---⋅5 = 5(a 1 + 2r) 313 5+ 3 135 = (a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ a5)+ (a 6 + a7 + ⋅⋅⋅ + a11) = 2a1+10r⋅11 = 11(a1 + 5r& { 2 627 = a1 + 2r 570 = a1 + 5r.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

3r = − 57 ⇒ r = − 1 9.

Z drugiego równania

a = 570 − 5r = 5 70+ 95 = 665 . 1

Stąd

an = a1 + (n − 1)r = 66 5− (n − 1)⋅19 = 684 − 19n .

Sprawdzamy teraz, które wyrazy ciągu (an) są dodatnie.

684 − 19n > 0 684 > 19n / : 19 n < 3 6.

Ciąg jest malejący, więc najmniejszym dodatnim wyrazem ciągu jest

a35 = 684 − 35 ⋅19 = 1 9.

 
Odpowiedź: a1 = 6 65, r = − 19 , a35 = 19

Wersja PDF