/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 7475469

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , jest równa 30. Ponadto a30 = 3 0 . Oblicz różnicę tego ciągu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów na an i Sn .

{ 30 = a30 = a1 + 29r 30 = S30 = 2a1+229r-⋅30 = (2a1 + 29r) ⋅15 / : 15 { 30 = a1 + 29r 2 = 2a + 29r 1

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić 29r ) mamy

− 28 = a1.

Z pierwszego równania mamy

29r = 30− a1 = 30 + 28 = 5 8 ⇒ r = 2.

Sposób II

Na mocy wzoru a1+an- Sn = 2 ⋅n na sumę n początkowych wyrazów ciągu (an ) , mamy

a1 + a30 30 = --------⋅30 ⇒ a1 + a30 = 2 ⇒ a1 = 2− a30 = 2 − 30 = − 2 8. 2

Korzystamy teraz ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego.

30 = a30 = a1 + 29r ⇒ 2 9r = 30 − a1 = 58 ⇒ r = 2.

 
Odpowiedź: r = 2

Wersja PDF