/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 7608570

Dany jest ciąg arytmetyczny (an ) , określony dla n ≥ 1 , w którym spełniona jest równość a33 + a37 + a41 + a45 = 78 . Oblicz sumę a22 + a56 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru an = a1 + (n − 1)r na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego.

78 = a + a + a + a = 33 37 41 45 = a1 + 32r + a1 + 36r + a1 + 40r + a1 + 44r = 4a1 + 152r / : 4 19,5 = a + 38r. 1

W takim razie

a22+ a56 = (a1 + 21r)+ (a1+ 55r ) = 2a1+ 7 6r = 2(a1+ 38r) = 2⋅1 9,5 = 39.

Sposób II

Jeżeli oznaczymy przez r różnicę ciągu (an) , to

7 8 = a + a + a + a = 33 37 41 45 = a39 − 6r+ a 39 − 2r + a39 + 2r+ a39 + 6r = 4a39 / : 2 3 9 = 2a . 39

Stąd

a22 + a56 = a39 − 17r+ a39 + 17r = 2a39 = 39.

 
Odpowiedź: 39

Wersja PDF