/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 8231898

Ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie równym 123 i różnicy będącej liczbą całkowitą. Ciąg (bn) jest określony wzorem bn = a3n , dla n ≥ 1 , oraz wiadomo, że suma pewnych 2k ≥ 2 początkowych wyrazów ciągu (bn) jest równa sumie 3k początkowych wyrazów ciągu (an) . Wyznacz wzór ogólny ciągu (bn) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że

an = a1 + (n − 1)r = 123+ (n − 1)r

oraz

bn = a 3n = 123 + (3n − 1)r.

Zapiszmy teraz podaną informację o sumach początkowych wyrazów obu ciągów.

b1 +-b2k a1-+-a3k 2- 2 ⋅2k = 2 ⋅ 3k / ⋅k (123 + 2r+ 123 + (6k − 1)r) ⋅2 = (123 + 123 + (3k − 1 )r)⋅3 (246 + (6k + 1)r)⋅ 2 = (246 + (3k − 1)r) ⋅3 246 = (12k + 2 − 9k + 3 )r = (3k+ 5)r.

Zauważmy teraz, że założeń zadania obie liczby 3k + 5 i r z prawej strony tej równości są całkowite, więc 3k + 5 musi być dzielnikiem liczby

2 46 = 2 ⋅3⋅ 41.

Łatwo sprawdzić, że liczba ta ma tylko dwa dzielniki tej postaci: 2 i 41. Ponieważ jednak k ≥ 1 , pierwszą możliwość odrzucamy. Zatem

3k+ 5 = 41 ⇒ k = 12

i r = 246 = 6 41 . Ciąg (b ) n ma więc wzór

bn = 123 + (3n − 1)r = 123+ (3n − 1) ⋅6 = 18n + 1 17.

 
Odpowiedź: bn = 1 8n + 117 , dla n ∈ N .

Wersja PDF