/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 9380167

W ciągu arytmetycznym {a1,a2,...,a39,a40} suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ

a2 = a1 + r, a4 = a3 + r,...,a40 = a39 + r,

mamy

{ 1340 = a2 + a 4 + ⋅⋅⋅ + a40 = a1 + a3 + ⋅⋅⋅+ a39 + 20r 1400 = a1 + a 3 + ⋅⋅⋅ + a39.

Odejmując od pierwszego równania drugie, mamy

20r = − 60 ⇒ r = − 3.

Zauważmy teraz, że suma wszystkich 40 wyrazów jest równa 1 340+ 1400 = 2 740 , co daje nam równanie

2a1 + 3 9r 27 40 = S40 = ---------⋅ 40 = (2a1 + 39 ⋅(− 3))⋅ 20 / : 2 0 2 13 7 = 2a1 − 117 ⇒ 2a 1 = 254 ⇒ a1 = 127.

Zatem

a40 = a1 + 39r = 127 + 39 ⋅(− 3) = 1 0.

 
Odpowiedź: a40 = 10

Wersja PDF