/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez sumę

Zadanie nr 9408687

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ciąg arytmetyczny składa się z szesnastu wyrazów. Suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 256, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 240. Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Ponieważ

a2 = a1 + r, a4 = a3 + r,...a16 = a15 + r,

mamy

{ 256 = a2 + a4 + ⋅ ⋅⋅+ a16 = a1 + a3 + ⋅⋅⋅+ a15 + 8r 240 = a1 + a3 + ⋅ ⋅⋅+ a15.

Odejmując od pierwszego równania drugie, mamy

8r = 1 6 ⇒ r = 2.

Zauważmy teraz, że suma wszystkich 16 wyrazów jest równa 2 40+ 256 = 49 6 , co daje nam równanie

2a1 + 15r 2a 1 + 1 5⋅2 4 96 = S16 = ----------⋅16 = ------------⋅16 / : 16 2 2 3 1 = a1 + 15 ⇒ a1 = 1 6.

Zatem

a16 = a1 + 15r = 16+ 15⋅ 2 = 46.

 
Odpowiedź: a1 = 16 ,a16 = 46

Wersja PDF