Zadanie nr 1110252

Wierzchołki i trójkąta prostokątnego ABC leżą na prostej y = − 4 . Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków , i odpowiednio w punktach P = (6,− 4) , Q = (2,4) i R = (9,5) . Oblicz współrzędne wierzchołków , i tego trójkąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Spróbujemy na początek wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Punkt leży na pionowej prostej x = 6 , więc ma współrzędne postaci S = (6,y) . Ponadto

P S2 = QS 2 2 2 2 (y + 4) = (6 − 2) + (y − 4) y2 + 8y + 16 = 16 + y 2 − 8y + 1 6 16y = 16 ⇒ y = 1.

Zatem S = (6 ,1 ) . Napiszemy teraz równania stycznych do okręgu wpisanego w trójkąt ABC przechodzących przez punkty i . Są to proste prostopadłe do promieni i . Wyznaczamy najpierw współczynnik kierunkowy prostej – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 1 = 6a+ b 4 = 2a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

3 − 3 = 4a ⇒ a = − -. 4

W takim razie prosta ma równanie postaci y = 4x + b 3 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

8 4 4 = --+ b ⇒ b = --. 3 3

W takim razie prosta ma równanie 4 4 y = 3x + 3 . Szukamy jej punktu wspólnego z prostą

− 4 = 4-x+ 4- ⇒ 4x = − 16- ⇒ x = − 4. 3 3 3 3

Zatem B = (−4 ,−4 ) .

Korzystamy teraz z informacji o tym, że trójkąt ABC jest prostokątny – to oznacza, że prosta jest prostopadła do , czyli równoległa do . Ma więc równanie postaci y = − 3x + b 4 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .