Zadanie nr 4790035

Punkty A = (− 2,12) i B = (6,− 2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym przy wierzchołku . Oblicz współrzędne wierzchołka tego trójkąta, wiedząc, że leży on na prostej o równaniu x + 3y = 22 . Sporządź rysunek w prostokątnym układzie współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

Rozwiązanie

Zróbmy najpierw rysunek.

Gołym okiem widać, że będą dwa takie punkty . Jak każde zadanie analityczne, możemy je rozwiązać na wiele różnych sposobów. My zrobimy je na dwa sposoby.

Sposób I

Oznaczymy współrzędne punktu C = (x,y) . Napiszemy teraz równania, które pozwolą nam wyliczyć i . Aby dostać takie równanie korzystamy z warunku, że wektory

→ CA = [− 2 − x,12 − y] → CB = [6 − x,− 2 − y]

mają być prostopadłe.

Przypomnijmy, że wektory →v1 = [x1,y1] i →v2 = [x2,y2] są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy → → v1 ∘v 2 = x1x2 + y1y2 = 0 . Mamy zatem

2 2 0 = (− 2 − x)(6 − x) + (12 − y )(− 2 − y ) = x − 4x + y − 10y − 36.

Drugie równanie otrzymujemy z warunku, że punkt leży na podanej prostej, czyli x = 22 − 3y . Uwzględniając to, otrzymujemy

2 2 (22 − 3y) − 4(22 − 3y )+ y − 10y − 36 = 0 484 − 1 32y + 9y2 − 88 + 12y + y 2 − 10y − 36 = 0 2 10y − 130y + 3 60 = 0 y 2 − 13y + 36 = 0.

Dalej mamy 2 Δ = 16 9− 144 = 25 = 5 , skąd 13−5- y 1 = 2 = 4 i 13+5- y 2 = 2 = 9 . Z warunku x = 22− 3y otrzymujemy wtedy x1 = 10 i x 2 = − 5 odpowiednio.