Zadanie nr 6415120

Punkty P (− 2,− 2) , Q (1,− 2) i R(− 2,4 ) są środkami boków , i trójkąta ABC . Oblicz:

Rozwiązanie

Sposób I

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

Niech , , . Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka o końcach i

$( ) p-+--r q+--s 2 , 2 ,$

otrzymujemy zależności

$( ( |{ xA + xB = − 4 |{ yA + yB = − 4 xB + xC = 2 yB + yC = − 4 |( |( xA + xC = − 4 yA + yC = 8$

W każdym z układów, odejmujemy od pierwszego równania drugie i dodajemy trzecie. Otrzymamy i , czyli . Stąd już łatwo otrzymać i .

Sposób II

Jak poprzednio, zacznijmy od rysunku.

Ponieważ odcinek jest równoległy do boku i jest od niego dwa razy krótszy, to . To pozwala łatwo wyliczyć współrzędne punktu .

$→ PQ = [3,0] → AR = [− 2 − x,4 − y] → → PQ = AR [3 ,0] = [− 2 − x,4 − y ] ⇒ A = (x,y ) = (− 5,4).$

Podobnie wyliczamy współrzędne pozostałych punktów.
Odpowiedź: , oraz
Korzystając z poprzedniego podpunktu, możemy obliczyć długości boków danego trójkąta.
$∘ --------- √ ------ √ -- AB = 62 + 122 = 6 1+ 4 = 6 5 ∘ --------- BC = 02 + 122 = 1 2 ∘ -2----2 AC = 6 + 0 = 6.$

Obwód wynosi więc .
Odpowiedź: