Zadanie nr 6690986

Odległość każdego z wierzchołków i trójkąta ABC od punktu K = (3,16) jest równa √ -- 5 5 , a odległość tych wierzchołków od punktu L = (− 2,− 19) jest równa 25. Okrąg opisany na trójkącie ABC jest styczny do prostej y = − 3 w punkcie . Punkt znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Treść jest dość skomplikowana, więc zaczynamy od schematycznego rysunku.

Zapiszmy najpierw informację o odległościach punktów i od punktów i . Jeżeli oznaczmy przez (x ,y ) współrzędne któregokolwiek z punktów i , to mamy

{ √ -- (x − 3)2 + (y − 16)2 = (5 5)2 2 2 2 (x + 2) + (y + 19) = 2 5 { 2 2 x − 6x + 9 + y − 32y + 256 = 125 x2 + 4x + 4 + y2 + 38y + 361 = 625 { x2 − 6x + y 2 − 32y + 140 = 0 x2 + 4x + y 2 + 38y − 260 = 0

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

10x + 70y − 4 00 = 0 / : 10 x = − 7y + 40 .

Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania układu

625 = (− 7y + 4 0+ 2)2 + (y + 1 9)2 = (− 7y + 42)2 + (y+ 19)2 2 2 = 4 9y − 588y + 176 4+ y + 3 8y+ 361 0 = 5 0y2 − 550y + 150 0 / : 50 0 = y 2 − 1 1y+ 30.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Δ = 121 − 120 = 1 y = 11-−-1-= 5 lub y = 1-1+--1 = 6. 2 2

Stąd x = − 7y + 4 0 = 5 i x = −7y + 40 = − 2 odpowiednio. Zatem A = (5,5) i B = (− 2,6) .

Teraz czas na zapisanie informacji o styczności okręgu opisanego na trójkącie ABC do prostej y = − 3 . Jeżeli oznaczymy przez S = (x,y ) środek tego okręgu, to jego promień jest równy r = y + 3 . Wiemy też, że leży na symetralnej boku . Otrzymujemy więc układ równań

{ AS 2 = BS 2 AS 2 = r2

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem, tzn. wyznaczmy równanie symetralnej odcinka .

2 2 2 2 (x− 5) + (y − 5 ) = (x+ 2) + (y− 6) x2 − 10x + 25 + y2 − 10y + 25 = x2 + 4x + 4+ y2 − 12y + 36 2y = 14x − 1 0 / : 2 y = 7x − 5.

W takim razie drugie równanie przyjmuje postać

2 2 AS = r (x− 5)2 + (y− 5)2 = (y+ 3)2 (x− 5)2 + (7x− 10)2 = (7x − 2)2 2 2 2 x − 10x + 25 + 49x − 1 40x + 100 = 4 9x − 28x + 4 x2 − 122x + 121 = 0 2 2 Δ = 1 22 − 484 = 14 400 = 120 12 2− 120 122 + 12 0 x = ---------- = 1 lub x = ---------- = 121 . 2 2

Stąd y = 7x − 5 = 2 lub y = 7x − 5 = 842 . Zatem S = (1,2) lub S = (121,842 ) , czyli C = (1,− 3) lub C = (12 1,− 3) . Drugą możliwość może być trudno sobie wyobrazić – tak to mniej więcej wygląda po przeskalowaniu.