Zadanie nr 7724907

Dwa boki trójkąta równoramiennego są zawarte w osiach układu współrzędnych, a prosta zawierająca trzeci bok tego trójkąta jest styczna do paraboli o równaniu y = 12x2 + 3x + 112 . Oblicz pole tego trójkąta. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozwiązanie

Jeżeli dwa boki trójkąta są zawarte w osiach układu współrzędnych, to mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym. Wiemy ponadto, że trójkąt ten ma być równoramienny, więc kąty ostre tego trójkąta muszą być równe 45∘ . To oznacza, że przeciwprostokątna trójkąta musi być zawarta w prostej postaci y = x+ b lub y = −x + b .

Aby ustalić dla jakich wartości proste tej postaci są styczne do danej paraboli, liczymy pochodną.

f′(x) = x + 3.

Sprawdzamy teraz w jakich punktach pochodna jest równa 1 lub − 1

x + 3 = − 1 ⇒ x = − 4 x + 3 = 1 ⇒ x = −2 .

Piszemy teraz równania stycznych do wykresu funkcji w punktach

( 11) ( 3 ) (− 4 ,f (− 4)) = − 4,8− 12+ --- = − 4,-- ( 2) ( 2) 11 3 (− 2 ,f (− 2)) = − 2,2− 6+ 2-- = − 2,2- .

Styczne mają więc odpowiednio równania

′ 3 5 y = f (− 4)(x+ 4)+ f(− 4) = − (x + 4) + --= −x − -- 2 2 y = f′(− 2)(x+ 2)+ f(− 2) = (x + 2) + 3-= x + 7-. 2 2

Styczne te przecinają oś układu odpowiednio w punktach ( 5) A = 0,− 2 i ( 7) B = 0,2 . Zauważmy, że punktów przecięcia z osią nie musimy wyznaczać, bo interesujące nas trójkąty są równoramienne, więc do obliczenia pola wystarczy nam długość jednej przyprostokątnej. Pola odpowiednich trójkątów są więc równe