Zadanie nr 7803795

Punkty A = (− 5,2) i B = (4,− 3) są wierzchołkami trójkąta ABC , a wysokości opuszczone z wierzchołków i tego trójkąta zawierają się odpowiednio w prostych o równaniach x + 4y − 3 = 0 oraz 12x + 7y− 27 = 0 . Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Napiszemy najpierw równanie prostej – jest to prosta prostopadła do wysokości y = − 127 x + 277 poprowadzonej z wierzchołka i przechodząca przez punkt . Jest to więc prosta postaci y = -7x + b 12 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

7 35 5 9 2 = ---⋅(− 5)+ b ⇒ b = 2 + ---= ---. 12 12 1 2

Prosta ma więc równanie:

-7- 59- y = 12 x + 12 .

Dokładnie w ten sam sposób wyznaczamy równanie prostej – jest to prosta prostopadła do wysokości y = − 1x + 3 4 4 poprowadzonej z wierzchołka i przechodząca przez punkt . Jest to więc prosta postaci y = 4x+ b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

− 3 = 4⋅4 + b ⇒ b = − 19.

Prosta ma więc równanie:

y = 4x − 19 .

Wyznaczamy teraz punkt wspólny prostych i .

{ y = 7-x + 59 12 12 y = 4x− 19.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

7-- 59- 0 = 4x − 12x − 1 9− 12 /⋅ 12 0 = 4 8x− 7x − 228 − 59 287 = 41x ⇒ x = 7.

Stąd y = 4x − 1 9 = 9 i C = (7,9) .

Interesująca nas długość wysokości opuszczonej na bok , to dokładnie odległość punktu od prostej . Napiszmy równanie tej prostej. Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .