Zadanie nr 8230680

Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek o końcach w punktach A = (1,− 5) oraz B = (4,1) . Jedno z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu y = −x − 4 . Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku - aby go zrobić zauważmy, że prosta y = −x − 4 powstaje z prostej przez przesunięcie o cztery jednostki w dół, oraz przechodzi przez punkty (0,− 4) , (−4 ,0) .

Sposób I

Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i jest jego podstawą, wierzchołek leży na symetralnej odcinka . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x0,y0) i prostopadłej do wektora →v = [p,q] .

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 ,

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [3,6] oraz

( 1 + 4 1− 5 ) ( 5 ) (x0,y0) = S = -----, ------ = -,− 2 . 2 2 2

Zatem symetralna odcinka ma równanie

( ) 3 x− 5- + 6(y + 2) = 0 / ⋅ 2 2 3 2x − 5+ 4y+ 8 = 0 2x + 4y+ 3 = 0.

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z podaną prostą y = −x − 4 . Podstawiamy do powyższego równania.

2x + 4(−x − 4) + 3 = 0 13 − 2x = 13 ⇐ ⇒ x = − ---. 2

Stąd 5 y = −x − 4 = 2 . Zatem 13 5 C = (− 2 ,2) .

Sposób II

Szukamy punktu C = (x,y) na podanej prostej, który spełnia równość: |AC | = |CB | (bo trójkąt ABC ma być równoramienny i jest jego podstawą). Ponieważ punkt leży na prostej y = −x − 4 jego współrzędne możemy zapisać w postaci C = (x,−x − 4) i dostajemy równanie