Zadanie nr 9141165

Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek o końcach w punktach A = (− 2,− 4) oraz B = (− 5,2) . Jedno z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu y = x − 2 . Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Prosta y = x− 2 powstaje z prostej y = x przez przesunięcie o dwie jednostki w dół, oraz przechodzi przez punkty (0,− 2) , (2,0) .

Sposób I

Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny i jest jego podstawą, wierzchołek leży na symetralnej odcinka . Napiszmy równanie tej symetralnej. Można to zrobić na wiele sposobów, my skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x0,y0) i prostopadłej do wektora → v = [p,q] .

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 ,

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [− 3,6] oraz

( ) ( ) (x ,y ) = S = −-2-−-5, −4-+-2- = − 7,− 1 . 0 0 2 2 2

Zatem symetralna odcinka ma równanie

( ) 7- 2- − 3 x + 2 + 6(y + 1 ) = 0 / ⋅3 − 2x − 7 + 4y + 4 = 0 − 2x + 4y − 3 = 0.

Pozostało teraz znaleźć punkt wspólny tej prostej z podaną prostą y = x − 2 . Podstawiamy do powyższego równania.

− 2x + 4(x − 2) − 3 = 0 11- 2x = 11 ⇐ ⇒ x = 2 .

Stąd y = x − 2 = 72 . Zatem C = (112 , 72 ) .

Sposób II

Szukamy punktu C = (x,y) na podanej prostej, który spełnia równość: |AC | = |CB | (bo trójkąt ABC ma być równoramienny i jest jego podstawą). Ponieważ punkt leży na prostej y = x − 2 jego współrzędne możemy zapisać w postaci C = (x,x − 2) i dostajemy równanie