Zadanie nr 9593247

Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A = (− 6,4),B = (− 2,− 4),C = (3,1) . Napisz równanie okręgu, który jest styczny do prostej , a jego środek jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Sposób I

Aby znaleźć punkt wspólny dla wysokości trójkąta musimy najpierw napisać równania tych wysokości. Rozpocznijmy od wyznaczenia równań boków i trójkąta ABC .

Najpierw równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów i i mamy

{ 4 = − 6a+ b 1 = 3a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 9a = − 3 , czyli a = − 1 3 . Stąd b = 1− 3a = 2 i prosta ma równanie: 1 y = − 3x + 2 .

Szukamy teraz prostej w postaci y = ax + b . Podstawiamy współrzędne punktów i i mamy

{ −4 = − 2a+ b 1 = 3a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 5a = 5 , czyli a = 1 . Stąd b = 1− 3a = − 2 i prosta ma równanie: y = x − 2 .

Napiszemy teraz równania wysokości i – są to proste odpowiednio przechodzące przez i oraz prostopadłe do i .

Wysokość ma równanie postaci y = 3x + b (bo jest prostopadła do ). Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

− 4 = −6 + b ⇒ b = 2.

Zatem BH : y = 3x + 2 .

Wysokość ma równanie postaci y = −x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

4 = 6+ b ⇒ b = − 2.

Zatem AH : y = −x − 2 . Wyznaczamy teraz punkt wspólny wysokości i .

{ y = −x − 2 y = 3x + 2 .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 0 = 4x + 4 , czyli x = − 1 . Stąd y = −x − 2 = − 1 i H = (− 1,− 1) .

Aby wyznaczyć promień okręgu obliczymy długość odcinka , gdzie jest punktem styczności okręgu i boku (czyli punktem wspólnym wysokości i boku ). Wyznaczamy najpierw współrzędne punktu .

{ y = 3x+ 2 y = − 1x + 2 3

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

1 3x + 3x = 0,

czyli x = 0 i y = 3x + 2 = 2 . Zatem E = (0,2) i

r2 = HE 2 = (0+ 1)2 + (2+ 1)2 = 10.

Szukany okrąg ma więc równanie

2 2 (x + 1) + (y + 1) = 10.

Sposób II

Równania wysokości trójkąta ABC można łatwo napisać korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W przypadku wysokości mamy

→v = −B→C = [3 + 2,1 + 4] = [5,5]

i P = A = (− 6,4) . Wysokość ma więc równanie

5(x + 6)+ 5(y − 4) = 0 / : 5 y = −x − 2.

W przypadku wysokości mamy

−→ →v = AC = [3 + 6,1 − 4] = [9,− 3]

i P = B = (− 2,− 4) . Wysokość ma więc równanie

9(x + 2)− 3(y + 4) = 0 / : 3 3(x + 2)− (y+ 4) = 0 y = 3x + 2.

Wyznaczamy teraz punkt wspólny tych dwóch wysokości.

{ y = −x − 2 y = 3x + 2 .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 0 = 4x + 4 , czyli x = − 1 . Stąd y = −x − 2 = − 1 i H = (− 1,− 1) .

Wyznaczmy jeszcze równanie prostej . Jako prostopadła do ma ona równanie postaci y = − 13x+ b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .