Zadanie nr 9837304

Punkt A = (23,22) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego o polu 7030 . Prosta zawiera przeciwprostokątną tego trójkąta, a prosta zwierająca przyprostokątną ma równanie 3y − 4x + 26 = 0 . Środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC ma współrzędne S = (−2 ,−3 ) . Oblicz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

ZINFO-FIGURE

Zauważmy na początek, że łatwo jest obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC – jest to po prostu odległość punktu od prostej .

|3⋅ (−3 )− 4 ⋅(− 2) + 26| |− 9 + 8 + 26| r = --------√--2----2-------- = ---------------= 5 . 3 + 4 5

Spróbujemy teraz napisać równanie prostej . Jest ona prostopadła do prostej AB : y = 43 x− 236 , więc ma równanie postaci y = − 34x + b oraz jej odległość od też musi być równa r = 5 . Aby sprawdzić kiedy tak będzie, zapiszmy jej równanie w postaci ogólnej: 4y + 3x − 4b = 0 i ponownie korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej.

|4⋅ (−3 )+ 3 ⋅(− 2) − 4b| |− 18 − 4b| 5 = --------√---------------- = ------------ 42 + 32 5 |− 18 − 4b| = 25 − 1 8− 4b = 25 lub 18 + 4b = 25 4b = − 43 lub 4b = 7 b = − 43- lub b = 7. 4 4

Zauważmy teraz, że w przypadku 7 b = 4 prosta miałaby równanie y = − 34x + 74 i wtedy punkty i leżałyby po różnych stronach tej prostej. Dokładniej,

3- 7- − 4 ⋅23 + 4 < 22 3 7 13 − --⋅(− 2)+ --= ---> − 3, 4 4 4

czyli punkt leżałby powyżej, a punkt poniżej prostej , a to jest niemożliwe. Zatem 43 b = − 4- i prosta ma równanie 3 43 y = − 4x − -4 . Szukamy teraz punktu wspólnego tej prostej i danej prostej .

{ 4 26 y = 3x − 3 y = − 34x − 434-

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

4 3 26 43 0 = -x + --x− ---+ --- / ⋅1 2 3 4 3 4 0 = 16x + 9x − 104 + 12 9 25x = − 25 ⇐ ⇒ x = − 1.

Stąd y = 4x − 26= − 10 3 3 i B = (−1 ,−1 0) .

W tym momencie musimy wykorzystać podaną informację o polu trójkąta ABC

∘ ----------------------- 700-= 1BA ⋅BC = 1- (23 + 1 )2 + (22 + 10 )2 ⋅BC = 2 0⋅BC 3 2 2 700 1 3 5 BC = -3--⋅ 20-= -3-.

Pozostało teraz wyznaczyć taki punkt ( 3 43) C = x,− 4x − 4 na prostej , dla którego BC = 35 3 .

12 25 ( 3 43 )2 ( 3 3) 2 ----- = BC 2 = (x + 1)2 + − --x− ---+ 10 = (x + 1 )2 + − --x− -- 9 4 4 4 4 12-25 2 -9- 2 2-5 2 9 = (x + 1) + 1 6(x + 1) = 1 6 ⋅ (x+ 1) 1225 16 49 ⋅16 (x + 1)2 = -----⋅---= ------- 9 25 9 28- 28- x + 1 = 3 lub x + 1 = − 3 25 31 x = --- lub x = − --. 3 3

Mamy wtedy y = − 34x − 434-= − 17 lub odpowiednio. Aby ustalić, który z tych punktów jest szukanym punktem , sprawdzamy, który z nich leży powyżej prostej (bo leży powyżej tej prostej).