Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1110252

Wierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na prostej y = − 4 . Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB , BC i CA odpowiednio w punktach P = (6,− 4) , Q = (2,4) i R = (9,5) . Oblicz współrzędne wierzchołków A , B i C tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Spróbujemy na początek wyznaczyć środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Punkt S leży na pionowej prostej x = 6 , więc ma współrzędne postaci S = (6,y) . Ponadto

 P S2 = QS 2 2 2 2 (y + 4) = (6 − 2) + (y − 4) y2 + 8y + 16 = 16 + y 2 − 8y + 1 6 16y = 16 ⇒ y = 1.

Zatem S = (6 ,1 ) . Napiszemy teraz równania stycznych do okręgu wpisanego w trójkąt ABC przechodzących przez punkty Q i R . Są to proste prostopadłe do promieni SQ i SR . Wyznaczamy najpierw współczynnik kierunkowy prostej SQ – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów S i Q .

{ 1 = 6a+ b 4 = 2a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 3 − 3 = 4a ⇒ a = − -. 4

W takim razie prosta CB ma równanie postaci y = 4x + b 3 . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu Q .

 8 4 4 = --+ b ⇒ b = --. 3 3

W takim razie prosta CB ma równanie  4 4 y = 3x + 3 . Szukamy jej punktu wspólnego B z prostą AB

− 4 = 4-x+ 4- ⇒ 4x = − 16- ⇒ x = − 4. 3 3 3 3

Zatem B = (−4 ,−4 ) .

Korzystamy teraz z informacji o tym, że trójkąt ABC jest prostokątny – to oznacza, że prosta CA jest prostopadła do CB , czyli równoległa do SQ . Ma więc równanie postaci y = − 3x + b 4 . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu R .

 27 47 5 = − ---+ b ⇒ b = ---. 4 4

To oznacza, że prosta CA ma równanie y = − 3x + 47- 4 4 . Wyznaczamy jej punkt wspólny A z prostą AB .

 3 47 3 6 3 −4 = − -x + --- ⇒ --x = --- ⇒ x = 21. 4 4 4 4

Zatem A = (21,− 4) .

Pozostało jeszcze wyznaczyć współrzędne punktu C .

{ 4 4 y = 3x + 3 y = − 34x + 474-

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

 4- 3- 4- 47- 0 = 3 x + 4 x+ 3 − 4 1 25 2 5 ---- = ---x ⇒ x = 5 12 1 2

Stąd  4 4 24 y = 3 x+ 3 = 3 = 8 i C = (5,8 ) .  
Odpowiedź: A = (21,− 4) , B = (− 4,− 4) , C = (5,8)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!