Zadanie nr 1110252
Wierzchołki i
trójkąta prostokątnego
leżą na prostej
. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków
,
i
odpowiednio w punktach
,
i
. Oblicz współrzędne wierzchołków
,
i
tego trójkąta.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Spróbujemy na początek wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt
. Punkt
leży na pionowej prostej
, więc ma współrzędne postaci
. Ponadto

Zatem . Napiszemy teraz równania stycznych do okręgu wpisanego w trójkąt
przechodzących przez punkty
i
. Są to proste prostopadłe do promieni
i
. Wyznaczamy najpierw współczynnik kierunkowy prostej
– szukamy prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

W takim razie prosta ma równanie postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.

W takim razie prosta ma równanie
. Szukamy jej punktu wspólnego
z prostą

Zatem .
Korzystamy teraz z informacji o tym, że trójkąt jest prostokątny – to oznacza, że prosta
jest prostopadła do
, czyli równoległa do
. Ma więc równanie postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.

To oznacza, że prosta ma równanie
. Wyznaczamy jej punkt wspólny
z prostą
.

Zatem .
Pozostało jeszcze wyznaczyć współrzędne punktu .

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

Stąd i
.
Odpowiedź: ,
,