/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 1562902

Punkty A = (10,0 ) i B = (0,− 6) są końcami odcinka AB . Prosta y = −x przecina odcinek AB w punkcie C . Oblicz stosunek |AC| |CB| .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku – zauważmy, że dana prosta jest dwusieczną kąta prostego AOB .

PIC

Sposób I

Prowadzimy odcinki jak na rysunku (niebieskie odcinki). Na mocy twierdzenia Talesa dorysowane odcinki dzielą odcinek AC na 5 równych części, a odcinek CB na 3 równe części. Zatem stosunek długości odcinków jest równy 53 .

Sposób II

Wyznaczamy równanie prostej y = ax + b przechodzącej przez punkty A i B

{ { − 6 = 0⋅a + b = b b = − 6 0 = 10a − 6 ⇒ a = 6-= 3 10 5

Zatem prosta AB ma równanie 3 y = 5x − 6 . Obliczamy jej punkt przecięcia z prostą y = −x – podstawiamy y = −x do powyższego równania.

3 − x = -x − 6 5 6 = 8x / ⋅ 5 5 8 5 15 x = --⋅6 = --. 8 4

Zatem (15 15) C = 4 ,− 4 i długości odcinków AC i CB są równe

∘ (--------)-2---(---------)-2- ∘ ----------- √ --- 1-5 1-5 62-5 225- 5--34- |AC | = 4 − 10 + − 4 − 0 = 16 + 16 = 4 ∘ --------------------------- ∘ ---------- √ --- ( 15 )2 ( 15 ) 2 225 81 3 34 |CB | = ---− 0 + − ---+ 6 = ----+ ---= ------. 4 4 1 6 16 4

Zatem

√ -- |AC | 5--34 5 -----= -√4-- = --. |CB | 3-434 3

Sposób III

Na mocy twierdzenia o dwusiecznej mamy

AC AO 10 5 ----= ---- = ---= --. BC OB 6 3

 
Odpowiedź: 5 3

Wersja PDF