/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 3221927

Punkt C = (5,− 1) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC , w którym |∡ABC | = 90∘ i |AB | = 2|BC | . Prosta BC ma równanie x − 2y − 7 = 0 , a punkt A leży na prostej k o równaniu y = x + 8 . Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, to środek jego przeciwprostokątnej AC , więc widać, że musimy wyznaczyć współrzędne punktu A .

Najtrudniejsze w tym zadaniu to sensowne wykorzystanie informacji o stosunku długości przyprostokątnych. Jedna z możliwości to zauważenie, że tak naprawdę mamy podany tangens kąta przy wierzchołku C trójkąta ABC – to w połączeniu ze wzorem na tg (α+ β) pozwala napisać równanie prostej AC .

My pójdziemy jednak inną drogą – będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

Jest oczywiste, że długość boku AB to po prostu odległość punktu A od prostej BC , trochę trudniej natomiast związać punkt A z długością boku BC . Aby to zrobić dorysujmy prostą m prostopadłą do BC i przechodzącą przez punkt C . Długość boku BC to po prostu odległość punktu A od tej prostej. Napiszmy jej równanie – szukamy prostej m w postaci y = − 2x+ b (bo jest prostopadła do BC ) i podstawiamy współrzędne punktu C .

− 1 = − 10 + b ⇒ b = 9 .

Prosta m ma więc równanie y + 2x − 9 = 0 . Możemy teraz zapisać warunek |AB | = 2|BC | przy pomocy odległości punktu A = (x,x + 8) od prostych BC i m .

d(A ,BC ) = 2d(A ,m ) |x-−--2(x+--8)−--7| |(x+--8)+--2x−--9| √ -- √ 1-+-4- = 2 ⋅ √ 1-+-4- / ⋅ 5 |− x− 23| = 2|3x − 1| |x+ 23| = 2|3x − 1|.

Otrzymane równanie rozwiążemy na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

|x + 23| = 2|3x − 1| x+ 23 = 6x − 2 lub − (x + 2 3) = 6x − 2 5x = 2 5 lub 7x = − 21 x = 5 lub x = − 3

Stąd odpowiednio

y = x + 8 = 13 lub y = x + 8 = 5

i A = (5,13) lub A = (− 3,5) . Środek okręgu opisanego jest wtedy odpowiednio równy

S = A-+--C-= (5,6) lub S = A--+-C-= (1,2). 2 2

Sposób II

Podnosimy otrzymane równanie stronami do kwadratu – w ten sposób pozbędziemy się wartości bezwzględnych.

|x + 2 3| = 2|3x − 1| /()2 (x+ 23)2 = 4(3x − 1)2 2 2 x + 46x + 529 = 36x − 24x + 4 0 = 35x2 − 70x − 525 / : 35 0 = x2 − 2x − 15 = 0.

Pozostało rozwiązać otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 4 + 60 = 64 = 82 2 − 8 2 + 8 x = ------= − 3 lub x = ------= 5. 2 2

Stąd odpowiednio

y = x + 8 = 5 lub y = x+ 8 = 13

i A = (− 3,5) lub A = (5,13) . Środek okręgu opisanego obliczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: (5,6) lub (1,2)

Wersja PDF