Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3622791

Punkt A = (3,4) jest wierzchołkiem kąta prostego w równoramiennym trójkącie prostokątnym ABC . Przeciwprostokątna tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y = − 2x + 1 5 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta ABC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Niech D będzie środkiem boku BC .

Sposób I

Długość odcinka AD możemy obliczyć ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

 √ -- AD = |4-+√-6-−-15-|= √5--= 5. 1 + 4 5

Trójkąt ABD jest równoramienny (bo ∡BAD = 45∘ ), więc łatwo obliczyć długość odcinka AB .

AB 2 = AD 2 + DB 2 = 2AD 2 = 10 .

Wystarczy teraz znaleźć punkty danej prostej, które są odległe od A o √ --- 10 . Szukamy punktu postaci w (x ,− 2x+ 15) .

 2 AB = 10 (x− 3)2 + (−2x + 15− 4)2 = 10 2 2 (x− 3) + (−2x + 11) = 10 x2 − 6x + 9+ 4x2 − 44x + 12 1 = 10 5x2 − 50x + 120 = 0 / : 5 2 x − 10x + 24 = 0 Δ = 1 00− 96 = 4 10 − 2 10 + 2 x = -------= 4 ∨ x = -------= 6. 2 2

Stąd y = − 2x + 15 = 7 i y = − 2x + 15 = 3 . Zatem współrzędne punktów B i C to (4,7 ) i (6 ,3) .

Sposób II

Zauważmy, że szukane punkty C i B to punkty wspólne danej prostej i okręgu o środku D i promieniu AD (tak jest, bo środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej).

Aby wyznaczyć współrzędne punktu D napiszemy równanie prostej AD . Ma ona postać y = 1x + b 2 (bo jest prostopadła do BC ). Liczbę b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A .

 3 5 4 = --+ b ⇒ b = --. 2 2

Obliczamy teraz współrzędne punktu D .

{ y = − 2x + 1 5 y = 12x+ 52

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze.

1- 5- 2 x+ 2x + 2 − 15 = 0 5 25 2 --x = --- / ⋅-- 2 2 5 x = 5 .

Stąd y = − 2x + 1 5 = 5 i D = (5,5) . Obliczmy jeszcze długość odcinka AD .

AD 2 = (5 − 3)2 + (5− 4)2 = 5.

Okrąg o środku D i promieniu √ -- 5 ma równanie

 2 2 (x − 5) + (y − 5) = 5.

Szukamy punktów wspólnych tego okręgu z daną prostą BC – podstawiamy y = − 2x+ 15 w równaniu okręgu.

 2 2 (x − 5) + (− 2x + 15 − 5) = 5 (x − 5)2 + (− 2x + 10 )2 = 5 2 2 (x − 5) + 4(x − 5) = 5 5(x − 5 )2 = 5 (x − 5)2 = 1 x − 5 = − 1 ∨ x− 5 = 1 x = 4 ∨ x = 6.

Stąd y = − 2x + 15 = 7 i y = − 2x + 15 = 3 . Zatem współrzędne punktów B i C to (4,7 ) i (6 ,3) .  
Odpowiedź: (4,7) i (6,3)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!