Zadanie nr 3622791

Punkt A = (3,4) jest wierzchołkiem kąta prostego w równoramiennym trójkącie prostokątnym ABC . Przeciwprostokątna tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y = − 2x + 1 5 . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Niech będzie środkiem boku .

Sposób I

Długość odcinka możemy obliczyć ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

√ -- AD = |4-+√-6-−-15-|= √5--= 5. 1 + 4 5

Trójkąt ABD jest równoramienny (bo ∡BAD = 45∘ ), więc łatwo obliczyć długość odcinka .

AB 2 = AD 2 + DB 2 = 2AD 2 = 10 .

Wystarczy teraz znaleźć punkty danej prostej, które są odległe od o √ --- 10 . Szukamy punktu postaci w (x ,− 2x+ 15) .

2 AB = 10 (x− 3)2 + (−2x + 15− 4)2 = 10 2 2 (x− 3) + (−2x + 11) = 10 x2 − 6x + 9+ 4x2 − 44x + 12 1 = 10 5x2 − 50x + 120 = 0 / : 5 2 x − 10x + 24 = 0 Δ = 1 00− 96 = 4 10 − 2 10 + 2 x = -------= 4 ∨ x = -------= 6. 2 2

Stąd y = − 2x + 15 = 7 i y = − 2x + 15 = 3 . Zatem współrzędne punktów i to (4,7 ) i (6 ,3) .

Sposób II

Zauważmy, że szukane punkty i to punkty wspólne danej prostej i okręgu o środku i promieniu (tak jest, bo środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej).

Aby wyznaczyć współrzędne punktu napiszemy równanie prostej . Ma ona postać y = 1x + b 2 (bo jest prostopadła do ). Liczbę wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .