Punkt A=(3,4) jest wierzchołkiem kąta prostego w równoramiennym... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Prostokątny, 3622791

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Trójkąt

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Prostokątny

Zadanie nr 3622791

Punkt $A = (3,4)$ jest wierzchołkiem kąta prostego w równoramiennym trójkącie prostokątnym $ABC$ . Przeciwprostokątna tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $y = − 2x + 1 5$ . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Niech $D$ będzie środkiem boku $BC$ .

Sposób I

Długość odcinka $AD$ możemy obliczyć ze wzoru na odległość punktu $P = (x0,y0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$ :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

√ -- AD = |4-+√-6-−-15-|= √5--= 5. 1 + 4 5

Trójkąt $ABD$ jest równoramienny (bo $∡BAD = 45∘$ ), więc łatwo obliczyć długość odcinka $AB$ .

AB 2 = AD 2 + DB 2 = 2AD 2 = 10 .

Wystarczy teraz znaleźć punkty danej prostej, które są odległe od $A$ o $√ --- 10$ . Szukamy punktu postaci w $(x ,− 2x+ 15)$ .

2 AB = 10 (x− 3)2 + (−2x + 15− 4)2 = 10 2 2 (x− 3) + (−2x + 11) = 10 x2 − 6x + 9+ 4x2 − 44x + 12 1 = 10 5x2 − 50x + 120 = 0 / : 5 2 x − 10x + 24 = 0 Δ = 1 00− 96 = 4 10 − 2 10 + 2 x = -------= 4 ∨ x = -------= 6. 2 2

Stąd $y = − 2x + 15 = 7$ i $y = − 2x + 15 = 3$ . Zatem współrzędne punktów $B$ i $C$ to $(4,7 )$ i $(6 ,3)$ .

Sposób II

Zauważmy, że szukane punkty $C$ i $B$ to punkty wspólne danej prostej i okręgu o środku $D$ i promieniu $AD$ (tak jest, bo środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej).

Aby wyznaczyć współrzędne punktu $D$ napiszemy równanie prostej $AD$ . Ma ona postać $y = 1x + b 2$ (bo jest prostopadła do $BC$ ). Liczbę $b$ wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu $A$ .