Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Niech będzie środkiem boku
.
Sposób I
Długość odcinka możemy obliczyć ze wzoru na odległość punktu
od prostej
:
W naszej sytuacji mamy
Trójkąt jest równoramienny (bo
), więc łatwo obliczyć długość odcinka
.
Wystarczy teraz znaleźć punkty danej prostej, które są odległe od o
. Szukamy punktu postaci w
.
Stąd i
. Zatem współrzędne punktów
i
to
i
.
Sposób II
Zauważmy, że szukane punkty i
to punkty wspólne danej prostej i okręgu o środku
i promieniu
(tak jest, bo środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej).
Aby wyznaczyć współrzędne punktu napiszemy równanie prostej
. Ma ona postać
(bo jest prostopadła do
). Liczbę
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.
Obliczamy teraz współrzędne punktu .
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze.
Stąd i
. Obliczmy jeszcze długość odcinka
.
Okrąg o środku i promieniu
ma równanie
Szukamy punktów wspólnych tego okręgu z daną prostą – podstawiamy
w równaniu okręgu.
Stąd i
. Zatem współrzędne punktów
i
to
i
.
Odpowiedź: i