Zadanie nr 3700173

W równoramiennym trójkącie prostokątnym punkt A = (3;1) jest wierzchołkiem kąta ostrego. Przeciwległa do niego przyprostokątna zawiera się w prostej o równaniu x − y + 1 = 0 . Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki trójkąta.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Łatwo jest napisać równanie boku – jest to prosta prostopadła do podanej prostej i przechodząca przez punkt . Ma więc ona postać x + y + b = 0 . Współczynnik wyliczamy z faktu, że przechodzi ona przez

3 + 1 + b = 0 ⇒ b = − 4.

Zatem prosta to y = −x + 4 . Aby wyznaczyć trzeci wierzchołek, musimy znaleźć na prostej x − y + 1 punkt , taki, że BC = BA (bo trójkąt ma być równoramienny).

Wyliczmy najpierw punkt . W tym celu przecinamy proste x− y+ 1 = 0 i y = −x + 4 (od razu podstawiamy za ).

x − (−x + 4) + 1 = 0 2x − 3 = 0 3- x = 2.

Zatem B = (32, 52) . Policzmy |AB | .

( ) ( ) 2 3- 2 5- 2 9- 9- 9- AB = 2 − 3 + 2 − 1 = 4 + 4 = 2 .

Szukamy teraz na prostej x− y+ 1 punktów, których kwadrat odległości od punktu wynosi 9 2 .

( ) 2 ( ) 2 x − 3- + y− 5- = 9- / ⋅4 2 2 2 2 2 (2x − 3) + (2y − 5) = 18 (2x − 3)2 + (2(x + 1)− 5)2 = 18 (2x − 3)2 + (2x − 3)2 = 18 2 (2x − 3) = 9 2x − 3 = ± 3.

Stąd x = 3 lub x = 0 . Wtedy równanie boku to x = 3 lub y = 1 odpowiednio.

Wyznaczenie boku można było bardzo skrócić, jeżeli byśmy zauważyli, że musi on być poziomy lub pionowy. To ostatnie stwierdzenie wynika z faktu, że kąty ostre trójkąta ABC muszą wynosić 45 ∘ (bo jest równoramienny) oraz podana przyprostokątna tworzy dokładnie taki kąt z osią . Druga z nich musi więc z tą osią tworzyć kąt lub 90∘ .
Odpowiedź: y = −x + 4 , x = 3 lub , y = 1