Zadanie nr 4728367
Punkt jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego , o kącie prostym , a jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta, wiedząc, że należy do ujemnej części osi .
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Ponieważ środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej, a podanych współrzędnych punktów i możemy łatwo obliczyć współrzędne drugiego końca przeciwprostokątnej, czyli punktu .
Zatem . Pozostało wyznaczyć współrzędne punktu .
Sposób I
Piszemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
Ponieważ punkt ma należeć do ujemnej części osi , mamy stąd .
Sposób II
Korzystamy z podstawowych własności iloczynu skalarnego – wystarczy sprawdzić, kiedy wektory i są prostopadłe, czyli kiedy ich iloczyn skalarny jest równy 0. Liczymy
Ponieważ punkt ma należeć do ujemnej części osi , mamy stąd .
Odpowiedź: ,