Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4790035

Punkty A = (− 2,12) i B = (6,− 2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym przy wierzchołku C . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta, wiedząc, że leży on na prostej o równaniu x + 3y = 22 . Sporządź rysunek w prostokątnym układzie współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zróbmy najpierw rysunek.


PIC


Gołym okiem widać, że będą dwa takie punkty C . Jak każde zadanie analityczne, możemy je rozwiązać na wiele różnych sposobów. My zrobimy je na dwa sposoby.

Sposób I

Oznaczymy współrzędne punktu C = (x,y) . Napiszemy teraz równania, które pozwolą nam wyliczyć x i y . Aby dostać takie równanie korzystamy z warunku, że wektory

 → CA = [− 2 − x,12 − y] → CB = [6 − x,− 2 − y]

mają być prostopadłe.

Przypomnijmy, że wektory →v1 = [x1,y1] i →v2 = [x2,y2] są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy → → v1 ∘v 2 = x1x2 + y1y2 = 0 . Mamy zatem

 2 2 0 = (− 2 − x)(6 − x) + (12 − y )(− 2 − y ) = x − 4x + y − 10y − 36.

Drugie równanie otrzymujemy z warunku, że punkt C leży na podanej prostej, czyli x = 22 − 3y . Uwzględniając to, otrzymujemy

 2 2 (22 − 3y) − 4(22 − 3y )+ y − 10y − 36 = 0 484 − 1 32y + 9y2 − 88 + 12y + y 2 − 10y − 36 = 0 2 10y − 130y + 3 60 = 0 y 2 − 13y + 36 = 0.

Dalej mamy  2 Δ = 16 9− 144 = 25 = 5 , skąd  13−5- y 1 = 2 = 4 i  13+5- y 2 = 2 = 9 . Z warunku x = 22− 3y otrzymujemy wtedy x1 = 10 i x 2 = − 5 odpowiednio.

Sposób II

Ponieważ szukany punkt C ma być wierzchołkiem trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej AB , to musi on leżeć na okręgu o średnicy AB .


PIC

Możemy zatem napisać równanie tego okręgu i znaleźć jego punkty wspólne z daną prostą – będą to szukane punkty. Środek okęgu ma współrzędne

 ( ) O = −-2+--6, 12-−-2 = (2 ,5). 2 2

Promień jest równy

 ∘ ------------------------ √ -------- √ --- |AO | = (2 − (− 2))2 + (5− 12)2 = 16 + 49 = 65.

Dostajemy zatem układ równań

{ 2 2 (x− 2) + (y− 5) = 65 x+ 3y = 22.

Po wyliczeniu x = 22 − 3y z drugiego równania i podstawieniu do pierwszego, otrzymujemy równanie

(20− 3y)2 + (y− 5)2 = 65 400− 120y + 9y 2 + y 2 − 10y + 25 = 65 2 10y − 130y + 36 0 = 0 y2 − 13y+ 36 = 0.

I jesteśmy dokładnie w tej samej sytuacji, co pod koniec poprzedniego sposobu.  
Odpowiedź: C = (10,4) lub C = (−5 ,9)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!